（3）已知 a 1, k 0 。证明： lim
nk 0 n a n
n n [ k ]1 [ k ]1
提示：令 a 1 b(b 0) ，当 n [k ] 1 时， a (1 b) Cn
b
，
nk nk 1 n [ k ]1 [ k ]1 a Cn b
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作者：闫浩
2013 年 9 月
所以
0 an
2 ． n 1
因此 0 ，取 N 1
2 ，则当 n N 时，有 2 0 an ，
故 lim a n 0 ．从而 lim ( n n ) 1 ．
n
n
1 在定义域内有下界，无上界； x2 1 2）设 0 ，则 y 2 在 ( , ] [ , ) 上有界。 x
（思考：一个函数在某个区间上无界如何叙述？） 证明：1）
1 1 0 ，因此 y 2 有下界。 2 x x 1 1 1 ，得到 yG 2 4G G ，因此 y 2 无上界。 x xG 2 G 1 1 1 2 ，此时 y 2 有界。 2 x x
并且注意到 lim
nk nk 0 ，可以得到 lim 0 。具体证明应用 N 定义叙述。 n C [ k ]1 n a n n
n
5.下列说法中，哪些与 lim an A 等价. 如果等价，请证明，如果不等价，请举出反例. （1）对于无限多个正数 0, N ，只要 n N ，就有 | an A | ；
G 0 ，取 xG
2） 0 ，当 x (, ] [ , ) 时，有 0
2.设 A, B 均是非空有界数集，定义 A+B {x +y | x A, y B} 。证明： （1） inf( A B ) inf A inf B ； （2） sup( A B ) sup A sup B 证明：仅证（1） ； （2）的证法类似于（1） 。 设 a inf A, b inf B ， 由 确 界 的 定 义 ， x A, y B 均 有 x a, y b ， 因 此
*
（2） 0, N ，只要 n N ，就有 | an A | ；
*
（3） (0,1), N ，只要 n N ，就有 | an A | ；
*
（4） k 0, 0, N ，只要 n N ，就有 | an A | k ；
x y a b ，即 a b 是集合 A B 的一个下界，另一方面 0, x A, y B ，使
得 x a
, y b ，因此 x y a b , 即 inf( A B) a b inf A inf B . 2 2
n
lim ( n 1 n ) 0
证明： 0 ，由于
| n 1 n | 1
1 n 1 n

1 n
，
欲使 |
n 1 n | ，只需
1 ，即 n 2 便可． n
n 1 n | ．
取 N 1 ，则当 n N 时，有 | 2
1
故 lim ( n 1 n ) 0 ．
n
（2） lim ( n n ) 1
n
证明： 因为 n n 1 ，令 n n 1 a n ，则 a n 0 ，且 lim ( n n ) 1 等价于 lim a n 0 ．
n
n
由于
1 1 2 n 2 ， n (1 a n ) n 1 na n n(n 1)a n an n(n 1)a n 2 2
作者：闫浩
2013 年 9 月
微积分 B(1)第一次习题课参考答案（第四周）
教学目的：本次习题课希望巩固确界、极限、子列等一些基本概念，这些概念是微积分的 基础，通过对习题的演练，使同学们加强对相关概念的理解；另外，由于新课标中的高中 数学较为简单，本次习题课也准备了பைடு நூலகம்些与常用的初等数学知识相关的习题，帮助大家衔 接中学与大学的内容。 必讲题:1--7.10.11.14.15.24.25.26. 其余题目留给同学自己练习。 一、集合的上下界、确界 1．证明 1） y
AB 的 一 个 上 界 。 另 一 方 面 0 ， 对 于
x a
，因此 , y b ab ab 2 x y (a )(b ) ab ( a b) ( ) ab ab ab ab ab
x A, y B 使 得 ab
3.设 A, B 均是由非负实数构成的有界数集，定义 AB {xy | x A, y B} 。证明： （1） inf AB inf A inf B ； （2） sup AB sup A sup B
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作者：闫浩
2013 年 9 月
证明： （1）略，仅证（2） 。 设 a sup A, b sup B ，若 a =b =0 ，则结论显然成立，下面设 a，b 0 。 由确界的定义， x A, y B 均有 0 x a, 0 y b ，因此 0 xy ab ，即 ab 是集合
即 sup AB ab sup A sup B 。 注： （ 1 ） 的 证 明 中 ， 也 要 用 到 类 似 “ 0 ， 对 于
x a
”的技巧。 , y b ab ab
x A, y B 使 得 ab
二、数列极限的定义 4．用极限定义证明 (1)