问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
与弧长相关的计算
合作探究
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
C=2 R
问题2 下图中各圆心角所对的弧长 分别是圆周长的几分之几?
R
180
°O
R 90°
R
45 °
O
O
R
O
n°
R
O
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 180 ，因此它所对的弧长
180
360
是圆周长的_____36_0____.
解：S弓形 =S扇形 S△OAB
240 0.62 1 0.3 0.6
360
2
3
A
0.24 0.09 3
0.91cm2 .
D
E
B
O
C
小结
弧长 扇形
弓形
计算公式：l n R
180
定义 公式 公式
n R2
S扇形 360
S扇形

1 2
lR
阴影部分面积 求法：整体思想
90
(2)
圆心角是90°，占整个周角的
90
，因此它所对的弧长 360
是圆周长的____3_6_0____.
45
(3)
圆心角是45°，占整个周角的
45
360
，因此它所对的弧长
是圆周长的____3_60_____.
n
(4)
圆心角是n°，占整个周角的
n
360，因此它所对的弧长是
圆周长的____3_6_0____.
知识要点
扇形面积公式
若设☉O半径为R，圆心角为 A
B
n°的扇形的面积
O
n R2
S扇形 = 360
注意 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不 带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
类比学习
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
A
B
O
O
l n R
180
S扇形
=
n R2
360
S扇形

n R
180

R 2

1 2

n R
180
R

1 lR 2
S扇形

1 lR 2
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
S

1 2
ah
试一试
1.扇形的弧长和面积都由 扇形的半径与扇形的圆心角 决定.
2.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 4 ，则这个扇形的
面积S扇=
4 cm2 3
90 360 的扇形面积是圆面积的_____36_0____.
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 45 ，因此圆心角是45° 45 360
的扇形面积是圆面积的____3_6_0____.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 n ，因此圆心角是n°的
n
360
扇形面积是圆面积的____3_6_0____.
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
割补法
．
3
3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的
面积S扇=
4 3
.
例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的 面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
S = n r2 = 60 102 = 50 52.36(cm2 ).
180
360
3
扇形的周长为
l=2r+ n r
180
=20+ 60 10 =20+10
180
3
30.47(cm).
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中 水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图
上哪一部分？ 阴影部分.
O.
A
B
C (1)
O A D.
C (2)
O. AD
C (3)
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应 该怎样画出来？ B 线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并
长交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积 B
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D， 交AB于点C,连接AC.
扇形.
B B
弧 圆心角 O
A
扇形 O
A
判一判
下列图形是扇形吗？
想一想
问题1 半径为R的圆,面积是多少？
S= R2
R
O
问题2 下图中各扇形面积分别是圆
面积的几分之几?
R
180
°O
R 90°
R 45
°
O
O
n°
R
O
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 180，因此圆心角是 180360
180°的扇形面积是圆面积的_____3_60____. (2) 圆心角是90°，占整个周角的 90 ，因此圆心角是90°
∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线，
O.
AD
B
C (3)
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
120π 0.62 1 AB OD
知识要点
弧长公式
l n 2 R n R
360
180
注意 用弧长公式 l n R ，进行计算时，要注意公式中n的
180
意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧 长为__43__.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
A
B
解：由弧长公式，
可得弧AB的长
C
100 °
O
D
l 100900 500 1570 (mm), 180
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
与扇形面积相关的计算
概念学习
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是
则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （C ）
A1
A.
7 3
7 8
C.
3
B．
4 3


7 8
3
D. 4 3 3
Hห้องสมุดไป่ตู้
A
O
C
O1 H1
B
C1
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，
则图中阴影部分的面积是12cm2 .
C B
A
D
4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
27.3 圆中的计算问题（1）
学习目标
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）
情境引入
问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在 第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
因为这些弯道的“展直长度”是一样的. 乙 甲
360
2
0.12π 1 0.6 3 0.3 2
0.22(m2 )
O AD B
C (3)
知识要点
弓形面积公式
O
O
• S弓形=S扇形-S三角形
• S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
练习 1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为 2 .
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为 AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，