多元函数连续、可偏导、可微的关系
函数连续
函数可偏导
函数可微 偏导数连续
8.3.3 全微分在近似计算中的应用
函数f(x,y)在(x,y)可微分，则
z [ fx ( x, y) x f y ( x, y) y] o( ),
即 z dz o(),
当 x , y 较小时，就有近似公式：
z dz fx ( x, y) x f y( x, y) y
x y 函数在点( x, y)可微分．
证 z f (x x, y y) f (x, y)]
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)] [ f ( x, y y) f ( x, y)] x的一元函数
由拉格朗日中值定理，有
fx(x, y)
f (x x, y y) f (x, y y) fx(x 1x, y y)x
第八章 多元函数微分法及其应用
8.1 多元函数的基本概念 8.2 偏导数 8.3 全微分 8.4 多元复合函数的求导法则 8.5 隐函数的求导公式 8.6 微分学在几何上的应用 8.7 方向导数与梯度 8.8 多元函数的极值及其求法
8.3 全微分
8.3.1 全微分的定义 8.3.2 可微分的条件 8.3.3 全微分在近似计算中的应用
f ( x, y y) f ( x, y) f y( x, y) y 2 y
上二式相加,得全增量
z fx(x, y)x f y(x, y) y 1x 2 y 其中当x 0, y 0时，1 0,2 0.
要证可微，只须证
z [ fx(x, y) x fy(x, y) y]
1x 2 y o()
x (2,1)
y (2,1)
所求全微分 dz x2 e2dx 2e2dy. y 1
例2 求函数 z y cos( y ,dx ,dy
x 2y) 当x
时的全微分.
4
,
4
解 z y sin( x 2 y),
x
z cos( x 2 y) 2 y sin( x 2 y), y
r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
例2.计算
的近似值.
解: 设 f ( x, y) x y,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取 x 1，y 2，x 0.04， y 0.02，
只须证 z [ fx ( x, y) x f y( x, y) y]
1x 2 y o( )
当x 0, y 0时，即 0,Q1x 2 y
1
2
0,
1
x
2
y
0.
即
z [ fx(x, y)x f y(x, y) y] 1x 2 y o( )
因此，z f ( x, y)在点P(x, y) 是可微分的.
(x)2 (y)2 ，则称函数z f ( x, y)
在点( x, y)可微分， Ax By称为函数
z f ( x, y)在点( x, y)的全微分,记为dz，
即
dz Ax B y
函数若在某区域D内每一点都可微分， 则称这函数在区域D内可微分.
8.3.2 可微分的条件
d z z d x z d y x y
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
例如，
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点 (0,0) 处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
讨论全微分是否存在，即
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( )
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y]
8.3.1 全微分的定义
全增量的概念
z f (x x, y y) f (x, y)
称为函数在点P(x,y)对应于自变量增量 x,y 的全增量.
x x
S (x x) ( y y) xy
y
S = xy
yx x y x y
y
( xy)x x ( xy)y y o()
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
f (1, 2) fx (1, 2) x f y (1, 2) y
1 2 0.04 0 0.02 1.08
全微分公式
证 如果函数 z f ( x, y) 在点 P(x, y)可微分,
对于P( x x, y y)U(P)，
z Ax By o( ) 总成立, 当 y 0 时，上式仍成立，此时 | x |
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
lim f (x x, y) f (x,
z dz o(), ( 0)
一元函数f(x)在点x可微 函数在该点连续
函数f(x,y)在点(x,y)可微分 函数在该点连续
证 由微分定义 z Ax By o( ),
lim z lim ( A x B y ) o( ) 0
x, y)(0,0)
0
0
0
0
得 lim f (x x, y y) f ( x, y) ( x ,y )( 0, 0)
dz
( , )
4
z x
dx
( , )
4
z y
dy
( , )
4
2 (4 7 ).
8
全微分公式 dz z dx z dy. 偏微分
x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的 两个偏微分之和称为二元函数的微分符合 叠加原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为
d u u dx u dy u dz
x
y
z
例3 计算函数 u x sin y e yz 的全微分. 2
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
一元函数在某点的导数存在 微分存在
xy (x)2 ( y)2
o( )
若点 P(x, y)沿着直线 y x 趋近于 (0,0),
x y
则
(x)2 (y)2
x x (x)2 (x)2
1 2
0
说明它不能随着 0 而趋于0, 当 0时，
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
故函数在点 (0,0) 处不可微.
或
f (x x, y y) f (x, y) fx(x, y)x f y(x, y) y
例1. 有一圆柱体受压后发生形变, 半径由 20cm 增大
到 20.05cm , 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体 体积的近似改变量.
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100,
偏导数 f x (0,0) f y (0,0) 0
但函数在点 (0,0) 处不可微.
多元函数的各偏导数存在并不能保证 全微分存在.
多元函数偏导数存在
全微分存在.
对于一元函数，有 函数可导 函数可微
偏导数存在
全微分存在
定理（充分条件）如果函数z f ( x, y) 的偏导数 z 、z 在点( x, y)连续，则该
故函数z f ( x, y) 在点 ( x, y) 处连续.
定理（必要条件）
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， 则该函数在点( x, y)的偏导数 z 、z 必存在,
x y 且函数z f ( x, y)在点( x, y)的全微分为
dz z x z y
x y
或 dz z dx z dy x y
线性主部
(x)2 ( y)2
dS yx x y
xy
x y (x)2 ( y)2
( x)2 ( y)2 0 2(x, y) (0,0)
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量
可以表示为 z Ax By o( )，
其中 A, B不依赖于x, y而仅与 x, y有关，
x0
z
x
A x
因此，dz
, 同理可得
z x z
y)
B y
（o | x |）
A lim x0
x
z .
0
y
即 dz
z
dx
z x
z
, dy
x y
dx dy
x y
例1 计算函数 z e xy在点(2,1)处的全微分.
解 z ye xy , z xe xy ,
x
y
z e2 , z 2e2 ,
因fx ( x, y) 在(x,y)连续，故
(0 1 1)
(无穷小)
fx ( x 1x, y y) fx( x, y) 1
f (x x, y y) f (x, y y) fx(x, y)x 1x
f (x x, y y) f (x, y y) fx(x, y)x 1x 同理，