(1)dx dx =nx n -1，n ∈N 。

(2)d x dx nx n N n n =∈-111,。

(3)dcdx =0，其中c 为常数。

(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/=-sin x另一种表示：① (x n )/=nx n -1② /)(n x =1n 11-n x ③ (c )/=0证明：(2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点，则f /(a )=ax →lim f (x )-f (a )x -a=a x →lim a x a x n n--=a x →lim ])(....)())[((121---++⋅+--n n n n n n n n n n n a a x x a x ax =1)(1-n n a n =1n (n n a -1)=1n (11-n a )(4)设a 为任意实数，f (x )=sin xf (x )-f (a )x -a = sin x -sin a x -a =ax ax a x -+-2cos 2sin2 计算f /(a )= a x →lim f (x )-f (a )x -a =a x →lim (ax a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。

(1)(3)(5)自证(1)f (x )与g (x )为可微分的函数。

⇒f (x )+g (x )为可微分的函数。

且d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ ddx (g (x ))成立。

另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x )证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点h /(a )=a x →lim h (x )-h (a )x -a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+)()()()(=a x →lim (f (x )-f (a )x -a + g (x )-g (a )x -a )=a x →lim (f (x )-f (a )x -a )+a x →lim (g (x )-g (a )x -a )=f /(a )+g /(a )例：求=+)(35x x dx d？推论：dx d (f 1(x )+f 2(x )+...+f n (x )) = dxx df dx x df dx x df n )()()(21+⋅⋅⋅++(2)设f (x )为可微分的函数。

⇒cf (x )为可微分的函数。

且d dx (cf (x ))=c df (x )dx ，特别c = -1时，d dx (-f (x ))=-df (x )dx 。

(3)d dx f x g x df x dx dg x dx (()())()()-=-，另一种表示：(f (x )-g (x ))/=f /(x )-g /(x ) (4) d dx (c 1f 1(x )+c 2f 2(x )+...+c n f n (x ))= c 1d dx (f 1(x ))+c 2d dx (f 2(x ))+...+c n ddx (f n (x ))例如：(1)ddx (a n x n +a n -1x n -1+...+a 1x +a 0) (2)(3x 5-2x 3+45x )/ =？(5)f (x )，g (x )为可微分的函数。

⇒f (x )g (x )为可微分的函数。

且 d dx (f (x )⋅g (x ))= d dx (f (x ))⋅g (x )+f (x )⋅ ddx (g (x )) 另一种表示：(f (x )⋅g (x ))/=f /(x )⋅g (x )+f (x )⋅g /(x ) 证明：例如：试求ddxx x x x (()())?223321+--+=下面我们要推导例2的一般情形：(a)d dx f x f x f x (()()())123++=df x dx f x f x f x df x dx f x f x f x df x dx 123123123()()()()()()()()()++(b)d dx f f f df dx f f f f dfdxn n n ()121212⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅(逐次轮流微分) (c)如果f f f f n 12==⋅⋅⋅=，则可得d dx f x n f x df x dxn n ((())(())()=-1例如：试求()x x 2523++的导数。

[例題1] 证明dx dxrx r Q rr =∈-+1,。

(6)若f (x )，g (x )在x =a 可微分，且g a ()≠0，则d dx f x g x f a g a f a g a g a x a (()())|()()()()(())//==-2。

因此可得：(()())()()()()(())///f x g x f x g x f x g x g x =-2若f (x )=1，则(1g (x ))/= )())((1/2x g x g ⋅- 例如：试求x x x 2211-++的导函数。

例如：求(1x 2+x +1)/=？例如：设r 为负有理数，证明dx dxrx rr =-1。

结论：若设r 为有理数，则dx dxrx rr =-1。

[例題2] 求下列各函数的导函数：(1) (x 2+2x )(x 2+3x +2) (2) (x -2)3(x 2-1) (3)(x 2+x +1)(4x 3+x -4)(x +3)(3)3x 3+2x +1 (4)(x +1)2(x -1)3Ans ：(1)4x 3+15x 2+16x +4 (2)(x -2)2(5x 2-4x -3)(3)(2x +1)(4x 3+x -4)(x +3)+(x 2+x +1)(12x 2+1)(x +3)+ (x 2+x +1)(4x 3+x -4)(4)-3(3x 2+2)(x 3+2x +1)2 (5)-(x +1)(x +5)(x -1)4[例題3] 请利用(sin x )/=cos x ，(cos x )/=-sin x 的结果证明：(tan x )/=sec 2x ，(sec x )/=sec x ⋅tan x(練習1.) 试求下列的导函数：(1)x 3-6x 2+7x -11 (2)(x 3+3x )2(2x +1) (3) (x +1)(2x 2+2)(3x 2+x +1) (4)(2x 3+x +1)5 Ans ：(1)3x 2-12x +7 (2)2(x 3+3x )(3x 2+3)(2x +1)+2(x 3+3x )(3) (2x 2+2)(3x 2+x +1)+(x +1)⋅(4x )⋅(3x 2+x +1)+ (x +1)(2x 2+2)⋅(6x +1) (4) 5(2x 3+x +1)4⋅(6x 2+1) (練習2.) 求下列各函数的导函数。

(1)f (x )=x 3+x +12x 2+x +3 (2)f (x )= 3x x 2+3x +1 (3)f (x )= 14x 3+3x 2+2x +1 (4)f (x )=1x 3+2x +1Ans ：(1)2x 4+2x 3+7x 2-4x +2(2x 2+x +3)2(2)-3x 2+3(x 2+3x +1)2(3) -1(4x 3+3x 2+2x +1)2⋅(12x 2+6x +2) (4)-3x 2-2(x 3+2x +1)2 (練習3.) 证明d dx x x (cot )csc =-2，ddxx x x (csc )csc cot =-(1)合成函数：(a)设f x x x g y y (),()=++=231，则g f x x x (())=++231。

x x x x x f g −→−++−→−++22311，()()g f x x x =++231 所以()()g f x 为x 的函数。

(b)g f f g ≠(2)连锁法则：既然()()g f x 为x 的函数，我们就可以讨论ddxg f x ()()? = 例： 设f x x g x y (),()=+=232，则()()(())()g f x g f x x ==+232利用d dx f x n f x df x dxn n ((())(())()=-1，可得ddx x x x (())()2322322+=+⋅=d dy g y df x dx y x ()|()=+⋅22 上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。

定理：(连锁法则 Chain Rule)若f (x ),g (y )都是可微分的函数，则合成函数()()g f x 亦可微分，而且d dx g f x dg y dy df x dx g f x g f x f x y f x (()())()|()()()(())()()/// =⋅==或。

[例題4] 求=++/32)1(x x ？一般情形：n N ∈，f (x )可微分，求/))((n x f =?[例題5] 求f (x )=sin 2x 的导函数。

Ans ：2sin x ⋅cos x[例題6] 求下列函数的导函数：(1)f x x ()tan =3 (2)x x f 5csc )(=(3)f x x ()tan =-12Ans ：(1)3tan 2x ⋅sec 2x (2)-5csc5x ⋅cot5x (3)22211sec xx x --⋅-(練習4.) 设n 为正整数而f (x )为可微分的函数，试用连锁律去计算(f (x ))n 的导函数。

Ans ：n (f (x ))n -1⋅f /(x )(練習5.) 求d dx (524)53(+-+x x x =？Ans ：15 54)53(24-+-+x x x ⋅(4x 3+6x -1)(練習6.) []()?/x x 2231++= Ans ：3213)12(2++⋅+x x x(練習7.) 求下列各小题y /(1)y x x =sin (2)y x =cos 3 (3)y x =+521cos()(4)y x x =sin cos4 (5)y x =+12sinAns ：(1)sin cos x x x + (2)-32cos sin x x (3)-+1021sin()x(4)cos cos sin sin x x x x 444- (5)sin cos sin x xx12+(練習8.) 计算下列各小题：(1)(x ⋅2x -1 )/=？ Ans ：3x -12x -1(2) d dx (2x +13x -5)=？ Ans ：6x -232⋅3x -5⋅(3x -5)(3)求f (x )=x 2+13x +1的导函数。