§3 二重积分的变量代换
也有一种情形，函数f 在D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。
例：2
2()
x
y D
I e dxdy -+=
⎰⎰，D={}222(,)|x y x y a +≤
分析：∵f(x,y)=22()
x y e -+在D 上几乎处处连续，有界函数{}
222(,)|x y x y a +≤=∂D 是零测度集，∴f ∈R
（D ）
22
2222
()
a
a x x y a
a x
I dx e dy --+---=⎰⎰
=22
2
2
22
a
a x x y a
a x
e
dx e dy ------⎰⎰
or 22
2222
()
a
a x x y a
a x I dy e
dx --+---=
⎰
⎰
=22
2
2
22
a
a x y x a
a x e
dy e dx ------⎰⎰
计算不出来！f ∈R （D ），但化为二次积分后算不出来。
说明我们的计算方法有问题。
因此，我们有必要寻找
更有效的计算二重积分的方法。
联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L 公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法。
在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？是可以的。
这就是我们今天给大家要讲解的，二重积分的变量代换，利用这种方法，就可以解决上面的计算问题。
在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。
对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数。
1． 极坐标交换
先介绍极坐标变换：cos ,sin x r y r θθ== (0,02)r θπ≤<+∞≤≤。
设D 是2
R 中的有界闭区域，且D ∂是2
R 中的零测度集；再设f 在D 上几乎处处连续的有界函数，根据上节内容可知：f ∈R （D ）∴
(,)D
f x y dxdy ⎰⎰有意义的；它的值不因对区域D 的分割方式不同而变化。
在直角坐标系中，我们是以平行于x 轴和y 轴的两族直线来分划区域D 为一系列小矩形的，在极坐标系中，若用极坐标网分割，即用r=常数的一族同心圆以及θ=常数的一族过极点的射线来分划D （如左图示），得出若干个小块ij σ，这时小块的面积若极为ij σ∆，（,i j i j x y σ∈）则Rieman 和为 1
1
(,)n m
i
j
ij
i j f x y σ
==∆∑∑ ，
注意到
ij σ∆=221[()]2j j i j i r r r θθ+∆∆-∆=1(2)2j j j i r r r θ+∆∆∆=21
2
j j i j i r r r θθ∆∆+∆∆
易见,当i θ∆，j r ∆充分小时，ij σ可近似地看成一个矩形，边长分割为：j r ∆和j i r θ∆，即 ij σ∆≈j j i r r θ∆∆，若有Rieman 和
1
1
(,)n m
i
j
ij
i j f x y σ
==∆∑∑中以 j j i r r θ∆∆代替ij σ，并按极坐标交换：cos ,sin x r y r θθ==
c o s
,s i n i j i
j
j i x r y r θθ==，1
1(,)n
m
i
j
ij
i j f x y σ
==∆∑∑≈
1
1
(cos ,sin )n
m
j
i
j
i
j
j
i
i j f r r r r θθθ==∆∆∑∑。
当分割的精度→
0是，由上面分析知：
1
1
(,)n
m
i
j
ij
i j f x y σ
==∆∑∑→
(,)D
f x y dxdy ⎰⎰。
记
(,)||,max ij
ij x y d x y σ∈=- 0,0{}max ij
i n j m
d d ≤≤≤≤=
，0
11lim (,)n m i
j
ij
d i j f x y σ→==∆∑∑=11
(cos ,sin )n m
j i j i j j i
i j f r r r r θθθ==∆∆∑∑
即
(,)D
f x y dxdy ⎰⎰='
(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ⎰⎰ 直角坐标下的二重积分化为极坐标系下的二重积分的公式）
在x=cos r θ,y=sin r θ 交换下，调和函数(,)(cos ,sin )f x y f r r θθ→，dxdy rdrd θ→， 区域'
D D →
[说明]：①注意，
D
f ⎰⎰虽经极坐标交换，但又变成极坐标系下二重积分，这是如何计算极坐标系下二重
积分，在极坐标下，二重积分一样可以化为二次积分来计算，下面分情况讨论之：
情形1 若'
D ={}1212(,)|()(),r r r r θθθθθθ≤≤≤≤， 1
()r θ，2()r θ为[1θ，2θ]上的连续函数，则称之为θ型区域（如左图）。
这时，类似于上节的x-y-型区域的取法，可将之化为下面形式：
'
(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ⎰⎰
=221
1()
()
(cos ,sin )r r d f r r rdr θθθθθθθ⎰⎰
情形2 若'
D ={}1212(,)|()(),r r r r r r θθθθ≤≤≤≤，其中1
()r θ，2()r θ∈C[1r ，2r ] （r-型区域），此时有
'
(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ⎰⎰
=221
1()
()
(cos ,sin )r r r r dr f r r rd θθθθθ⎰⎰
情形3 若极点O 是积分区域的内点，则交换后的区域为：'
D ={}(,)|0(),02r r r θθθπ≤≤≤≤ 此处r =()r θ是'
D 的边界曲线，
'
(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ⎰⎰
=2()
(cos ,sin )r d f r r rdr πθθθθ⎰⎰
情形4 若积分区域的边界曲线r =()r θ通过极点O 时，应先求出极径，继使()r θ=0的两个角度1θ，
2θ，此时有：'
(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ⎰⎰=2
1
()
(cos ,sin )r d f r r rdr θθθθθθ⎰⎰
②何时使用极坐标变换？当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为2
2
()f x y +时，采用极坐标交换来计算往往简便得多。
例1 22()
x y D
I e
dxdy -+=
⎰⎰，D={}
222(,)|x y x y a +≤
例2
221D
dxdy
I x y =--⎰⎰
，D 为圆域
2214x y +≤
例3求球面2222
x y z R ++=被圆柱面
22
x y +=Rx 所割下的立体（成为维维安尼（Viviani ）体）的
体积。
例4有一个形状为旋转抛物面
22
z x y =+的容器内，已经盛
38cm π，
的溶液，现又倒进3
120cm π的溶液，问液面比原来的液面升高多少cm ?
2． 二重积分的一般变量替换
计算二重积分，除了引用上面讲的极坐标这一特殊交换外,有时还要取一般的变量替换。
定理 设D 2R ⊂有界闭区域，()f R D ∈，设(,)x x u v =，(,)y y u v =（*）。
通过（*）把D 变为'
D ，
在D 上有关于x,y 的连续偏导数，并且交换（*）是一对一的，又设(,)
0(,)
x y J u v ∂=
≠∂（在'D 内不为0），则
(,)D
f x y dxdy ⎰⎰
='
(,)
((,),(,))|
|(,)
D x y f x u v y u v dudv u v ∂∂⎰⎰。
说明：① 在定理中，假设J ≠0，但有时会遇到这种情形。
交换行列式在区域内个别点上等于0。
或只在一小区域上等于0而在其他点上非0，此时上述结论能成立。
②特例：cos ,sin x r y r θθ== 此时
(,)(,)x y r θ∂∂=cos sin sin cos ||r r r θ
θ
θ
θ-=，根据① 有(,)D f x y dxdy ⎰⎰='
(cos ,sin )D f r r rdxdy θθ⎰⎰；③在多个具体问
题中，选择交换公式的依据有两条：（1）使交换的函数容易积分；（2）使得积分限容易安排。
例1
求椭球体222
2221x y z a b c
++≤的体积
例2
求出内抛物线2
y px =，2
y qx =（0p q <<）及双曲线 ,xy a xy b == (0)a b << 所围区域
D 的面积。