无穷级数习题一、填空题 1、设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数0(21)nn n x∞=+∑的收敛域为 。
3、幂级数211(3)2n nnn nx ∞-=-+∑的收敛半径R = 。
4、幂级数nn ∞=的收敛域是 。
5、级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 。
6、级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为 。
7、111()2n n n ∞-==∑ 。
8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数3b 的值为 。
9、设函数21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩ 0,0,x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。
10、级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和 。
11、级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。
参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3、R = 4、[1,1)- 5、(0,4)6、22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、14 11、(0,4)二、选择题1、设常数0λ>，而级数21n n a ∞=∑收敛，则级数1(1)nn ∞=-∑是（ ）。
（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=，2n nn a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。
（A ）若1nn a∞=∑条件收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑都收敛。
（B ）若1nn a∞=∑绝对收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑都收敛。
（C ）若1nn a∞=∑条件收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑的敛散性都不一定。
（D ）若1nn a∞=∑绝对收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑的敛散性都不定。
3、设0,1,2n a n >=，若1nn a∞=∑发散，11(1)n n n a ∞-=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。
（A ）211n N a∞-=∑收敛，21nn a∞=∑发散. （B ）21nn a∞=∑收敛，211n n a∞-=∑发散.（C ）2121()n n n aa ∞-=+∑收敛. （D ）2121()n n n a a ∞-=-∑收敛.4、设α为常数，则级数21sin()(n n n α∞=∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数1(1)(1cos)n n nα∞=--∑（常数0α）是（ ）（A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6、设(1)ln(1)nn u =-+，则级数 （A ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛. （B ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散.（C ）1nn u∞=∑收敛而20nn u∞=∑发散. （D ）1nn u∞=∑发散而21nn u∞=∑收敛.7、已知级数12111(1)2,5n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑，则级数1n n a ∞=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 8、设函数2()(01)f x x x =≤≤，而 1()sin nn S x bn x π∞==∑， x -∞<<∞其中12()sin n b f x n xdx π=⎰，1,2,3n =，则1()2S -等于（ ）。
（A ）12-. （B ）14-. （C ）14. （D ）12.9、设,()22,x f x x ⎧=⎨-⎩ 102112x x ≤≤<< 01()cos 2n n a S x a n x π∞==+∑，x -∞<<+∞ 其中12()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n = 则5()2S -等于（ ）。
（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-.10、设级数1nn μ∞=∑收敛，则必收敛的级数为（A ）1(1)nnn u n ∞=-∑. （B ）n ∞=∑21nn u∞=∑. （C ）2121()n n n uu ∞-=-∑. （D ）11()n n n u u ∞+=+∑.11、已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑，2151n n a∞-==∑，则级数1nn a∞=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 12、若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（ ）（A ）1n n a ∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛. （C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞=++∑收敛. 13、若(1)nn n a x ∞=-∑在1x =处收敛，则此级数在2x =处（ ）。
（A ）条件收敛. （B ）绝对收敛. （C ）发散. （D ）敛散性不能确定.14、设幂级数0nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑与13，则幂级数221n nn na xb ∞=∑的收敛半径为（ ） （A ）5. （B（C ）1.3 （D ）1.5参考答案：三、解答题1、设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0x f x x→=，证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛。
【分析一】0()lim0x f x x→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小，若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小，1p >，从而1()f n 也是1n的p 阶或高于p 阶的无穷小，这就证明了11()n f n∞=∑绝对收敛。
【证明一】由0()lim0x f x x→=及()f x 的连续性⇒(0)0,(0)0f f '==。
再由()f x 在0x =邻域有二阶连续导数及洛必达法则2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''⇒=== ⇒ 20()1lim(0).2x f x f x →''= 由函数极限与数列极限的关系⇒ 21()1lim(0)12x f nf n →+∞''= 因211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛，即11()n f n ∞=∑绝对收敛。
2、设正项数列n a 单调减小，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，试问级数11()1nn n a ∞=+∑是否收敛？【分析与求解】因{}n a 单调下降有下界0⇒∃极限lim 0n x a a →+∞=≥。
若0a =，由莱布尼兹法则，并错级数1(1)nnn a∞=-∑收敛，与假设矛盾，于是0a >。
现在对正项级数11()1nn n a ∞=+∑可用根值判别法：因为11lim lim 111n n na a →+∞==<++，所以原级数收敛。
3、求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式，先求1limlim .3n n == 于是收敛半径3R =，收敛区间为(3,3).-当3x =时是正项级数：131.3(2)n nnn n ∞=⋅+-∑ 311()3(2)n n n n nn ⋅→+∞+-，而11n n∞=∑发散， ⇒ 1313(2)n nn n n ∞=+-∑发散，即3x =时原幂级数发散。
当3x =-时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。
31(1)(3(2)(2)13(2)3(2)n n n n n n n n nn n -+---=⋅+-+- (1)213(2)n n n n n n-=-⋅+- 因 1213123(2)lim lim 0,()23(2)33n n n n n n n n n n n n nn ∞→+∞→+∞=+-=⋅=+-∑收敛，1213(2)n n n n n ∞=⇒⋅+-∑收敛，又1(1)n n n ∞=-∑收敛1313(2)n n nn n ∞=⇒+-∑收敛，即3x =-时原幂级数收敛。
4、（1）验证函数3693()1()3!6!9(3)!n x x x x y x x n =++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=；（2）利用（1）的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数。
【分析与求解】（1）首先验证该幂级数的收敛区间是(,).-∞+∞这是缺项幂级数，令3t x =，则原级数300(3)!(3)!n nn n x t n n ∞∞====∑∑由 11(3(1))!limlim 01(33)(32)(31)(3)!n n n n n n n →+∞→+∞+==+++ (,)t ⇒∈-∞+∞，从而(,)x ∈-∞+∞时原级数收敛。
其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：311()(31)!n n x y x n -∞='=-∑， 321()(32)!n n x y x n -∞=''=-∑， (,).x ∈-∞+∞于是 ()()()y x y x y x '''++32313110(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====++--∑∑∑级数的线性性质 3231311()(32)!(31)!(3)!n n nn x x x n n n --∞=+++--∑ 2345601()()2!3!4!5!6!!nn x x x x x x x n ∞==+++++++=∑ xe = ().x -∞<<∞（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）（2）因为幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数()y x 满足微分方程.xy y y e '''++= ① 又知 (0)1,(0)0.y y '== ②所以为求()y x 只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②该方程相应的齐次方程的特征方程为 210.λλ++=特征根为1,2122λ=-± ⇒ 相应齐次方程的通解为1212().x y ec x c x -=+ 设非齐次方程的一个特解为xy Ae *=，代入方程①得3.x x y y y Ae e '''*+*+*==⇒ 1.3A =⇒ 非齐次方程①的通解为2121(cossin ).223x x y e c x c x e -=++ 令0x =，由初始条件② ⇒1121(0)1,311(0)0.23y c y c ⎧=+=⎪⎪⎨⎪'=-+=⎪⎩⇒ 122,0.3c c == 因此32021()(3)!33xn x n x y x e x e n ∞-===+∑ ()x -∞<<+∞5、求幂级数1211(1)(1)(21)n n n x n n ∞-=-+-∑的收敛区间与和函数().f x【分析与求解】 这是缺项幂级数，令2,t x =考察1nn n a t∞=∑，其中11(1)(1).(21)n n a n n -=-+-由 1nnn a ≤ ⇒lim1.n =1n n n a t ∞=⇒∑的收敛半径为1⇒原幂级数收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-。