第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
26 ． 设 f x 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数， 它 在, 上 的 表 达 式 为,x 22f xx ,x，将 f x 展开成付里叶级数。
2 2, x2227．将函数 f xx 2 ，( 0 x l )分别展开成正弦级数和余弦级数。
(C)1．用定义判断下列级数的敛散性1n 12n 1 2n 1 2n 32．设 a i0 ， i 1,2,，判断级数a 1 a 2a n的敛散性。
1 a 11 a 1 1 a 21 a 1 1 a 21 a n判断下列正项级数的敛散性3nn! ；4．ln n1．；5．n n 2 11 ；3n 1n n1n 1n 2 2 nn 16．判断级数1sin n的敛散性。
n 1n2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间7．n 1n 2n x 2n ；8．1 n 1 11 x n ；n 1n 12n求下列级数的和9．1 n 1n 1n 2n110．展开d e x 1为 x 幂级数，并推出 n1 。
dx x n 1 n 1 !n11．求级数n2 2 x 3 n 1 的收敛区间及和函数。
n 1x, 0 x2．设函数2，试分别将 f x 展成为以 2 为周期的12f x,x2区弦级数和余弦级数。
13．将周期函数 fx1 , ,0，展为付氏级数，并据此求周期函数1 ,0,f 1 xa ,,0| x | ，,的 付 氏 级 数 ， 求 下 面 级 数b , 0, ， f 2 x4 111 。
132422n 12第十一章 无穷级数(A)n1．解：∵ S nk2k1n22，( n), ∴原级数k1发散。
2 ． 解 ： ∵ S nn11 n 1 1 1 1 1 1 ，k 1 2k 2k 22 k 1 2k 2k 22 2 2n 24( n) ，∴原级数收敛且和为 1 。
41 1 n11 1 1 1 1 11 1n n1 33n 55n 3．解：∵ S n3k5kk 1 3kk 1 5k11 2 4k 111353 ， ( n ) ，∴原级数收敛且和为 3。
4．解：∵ lim Un 1lim n 1 ! 100n limn1 ，∴由比值判别法知原级nU n n 100n 1 n ! n100数发散。
Un 1 n 1 e e n 1 n 1 e 15．解：∵lim lim 1 ，∴由比值判别法lim n 1 en U n n e n n e n e知，原级数收敛。
6．解：∵ lim U n lim n 1 1 0 ，∴原级数发散。
2n 2n n7．解：∵lim Unlim n 2n 3 2 ，而n 11发散，∴由比较判别法知原级n 1 n n n 3 nn数发散。
Un 1 n 1 4 n ! 1 n 1 48．解：∵lim lim 0 ，∴由比值判别法limU n n 1 ! n 4 n 1 nn n n知，原级数收敛。
n n n 19．解：∵lim n U n lim n lim 1 ，∴由比值判别法知，3n 1 3n 1 3n n n原级数收敛。
10 ．解：∵n n1 n U n n n1，而 lim nn1 lim n n 11，故2 2 n 2 n 2 211，∴由比值判别法知，原级数收敛。
lim n U nn 211．解：|U n | n ，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故n 1 n 12n 1原级数绝对收敛。
12．解：| U n| 1 1，而1发散，故1发散。
因此原级数非绝对ln n n n 2 n n 2 ln n收敛，又，显然ln 1 1 ， n 2,3, ，且 lim 1 0 ，故由莱布尼兹判别n 1 ln n n ln n法知原级数条件收敛。
13．解：∵ lim |U n | lim | 0 0 | 0 ，∴原级数发散。
14．解：此为交错级数，∵| Un|n1n 1，( n ) 而级数 1 发散，1 n2 n 1 nn故| U n |发散，即原级数非绝对收敛，显然n 单调递减且趋向于零，故原n 2n 1 1级数条件收敛。
15．解：∵l im an 1 3n 1 n lim 3 n 3 ，∴R 1 1a nlim3nn 1，当 x 时，n n n 1 n 3 3级数为 1 发散，当 x 1时，级数为1 n 1 收敛。
故原级数的收敛区n 1 n 3 n 1 n 间为1, 1 。
3 316．解：∵an 1 n n 1 1 0 ， n ，∴ R ，收敛a n n 1 n 1 n 1 1 n1n区间为, 。
17．解：∵an 1 1 1a n n 1 n11n， n，∴ R0 。
an 1lim2n n 1，∴ R 2 。
故当| x 1 | 2 ，即18 ．解：∵ lim n 1n a n n 2 n 1 21 x 3时收敛，当 x 1或 x 3 时发散，当 x 1 时，级数为 1 n 1，收n 1 n敛；当 x 3 时，级数为1，发散。
故收敛区间为1,3 。
n 1 n19 ．解：∵Un 1 x2n 3 2n 1 x 2 x2 ， n ，当 x2 1 时，即U n 2n x 2n 1 2 2 22 x 2 时收敛，当x2 1 ，即 x 2 或 x 2 时发散，∴ R 2 。
当2x2 时原级数为 2 2 ，发散，故收敛区间为2, 2 。
n 120．解：∵a n 1221， nn 1 3n 1 n 1 ，∴ R 3 ，当 x 3a n3n 1 n 23 n3时，原级数1 n2，发散。
故收敛区间为3,3 。
nn 121．解：设 f xnx n 1 ， | x | 1，n 1x x dxxnxn 1dx x 1 dxx n xf 0nxnn 1n 1 0 n 11 x∴ f xx1， | x | 1 。
x1 21 x22．解：设 f xf x1 x 2n 1 ， | x | 1，则n 1 2n 1x1 x2 n 1 1 x 2 n 1x 2 nx 2n 1 2n 1n 1 2n 1n 11 x 2xx 2，f x dx1 x 2dx即 f x fx 11 11 dx ，21 x 1 x∴ f xf 01 ln 1 xx 1 x1 ln1 x， | x | 1。
21 x2 1 x23．解：e xe x11 x n1 x n1 1 x 2k ， x。
22 n 0 n !n 0 n !2 k 0 2k !24．解： cos 2 x 1 1 cos2x1 11 n 12x 2n22n 02n !1 1 1 n 2nx 2n ，x。
2 2 n 02n !25．解： 1 x ln 1 x1 x1n 1x n ， | x | 1n 1n1 n 1 x nnn 11 n 1 x1 n1 n 1 x n 1 。
n 1nn 1n 1n n126．解：11 n xn1 n 11 11 13x 3 nx x 3 3 3 1 x 3 3 n 03n 03n 13 x 3x 63 1，即 027．解：∵ f x cos x为偶函数，∴ b n 0 ， n1,2,2a n1cos xcosnxdx2cos xcosnxdx2210 cos1n x cos1n x dx22x11 1 sin 1 n x 1 sin 1 n xn 21 n 2222cosnx cosnx 1 n 1 21 1 1 1 2n 1 2n 12n 2n1 n 1 411 ， n 0,1,2,44n 2 cos x在令 n 0 ，得 a 0，且 f x, 上连续∴ cosx 224 1 cosnx ， x 。