第十二章 无穷级数习题课资料丁金扣一、本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。

幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。

二、本章重点用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。

三、本章难点用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。

四、例题选讲例1：判别级数()21ln 1ln ln 1n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+∑的敛散性。

（用定义）解：原式=()()22ln 1ln 11()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞∞==+-=-++∑∑级数的部分和111111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 2ln(1)ln 2n =-→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于1ln 2。

例2：证明级数2cos cos(1)n n n n ∞=-+∑收敛。

（利用柯西审敛原理） 证明：1cos cos(1)n pn p n m n m m S S m ++=+-+-=∑ ()()()11cos 1cos 11()cos 111n p m n n n p m n mm n p +-=+++=--+-+++∑ 得1111112()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑，对任意的0ε>，取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，对所有p N ∈，都有n p n S S ε+-<，故原级数收敛。

例3：判别下列级数的敛散性（1）111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ， （2）211ln n n n ∞=-∑ ， （3）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ （4）()11!2!!2!n n n ∞=+++∑ ，（5）()()()21111n nn x x x x ∞=+++∑ ，（0x ≥） （6）ln 113nn ∞=∑ 解：（1）因为ln(1)ln n n +<，所以1111ln ln(1)0n n n n n+-=-+>， 而 111lnln ln 1111n n n n n n +⎛⎫-==-<- ⎪+++⎝⎭， 有2111111ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 由比较审敛法知，级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。

（2）因为 2221ln lim lim n n n n n u n n →∞→∞==-，又211n n∞=∑收敛，所以原级数收敛。

（3）用根值法11212lim n n n n →∞→∞==<+ ，所以原级数收敛。

（4）()()()()1!2!!11!!211!n n n n n n +++<--+=--()2!1!2!n n n =--<所以 ()()()()12!212!122122n n n u n n n n n -<=<++- 有比较法知，原级数收敛。

（5）比值法：111lim lim n n n n n u xu x ++→∞→∞=+， 当01x ≤<时，11lim n n nu x u +→∞=<，级数收敛， 当1x =时，1112lim n n nu u +→∞=<，级数收敛，当1x >时，101lim n n nu u +→∞=<，级数收敛。

所以，当0x ≥时，级数收敛。

（6）101133ln 31yx y e dx dy ∞∞==-⎰⎰，所以原级数收敛。

例4：判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性。

解：()11sinln nn u n=- 1sin ln n u n =，又11ln n n >，知级数21ln n n ∞=∑发散，从而2n n u ∞=∑发散，即级数非绝对收敛。

因为1sin0ln lim n n→∞=，且1sin ln x 在()2+∞，内单调减少，由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。

例5：证明级数()n-1211n ∞=⎛⎫--- ⎝∑收敛。

证：设()1f x =-，则原级数为()()n-121n f n ∞=-∑， 又()32110,(0)2f x x x -⎛⎫'=-<> ⎪ ⎪⎝⎭，即()f x 在()0,+∞内单调下降， 从而()()1f n f n >+，且()0lim n f n →∞=，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。

例6：设数列{}n a 为单调增加的有界正数列，证明级数211n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。

证明：因为数列{}n a 为单调增加有上界，所以极限存在。

设lim nn aa →∞=，考虑1111101n n n n n n n n a a a a au a a a ++++--<=-=< 而级数()()11112lim n n n n n aa a a a a ∞++→∞=-=-=-∑存在，由比较审敛法知，原级数收敛。

例7：求下列幂级数的收敛域（1）12n n n x n ∞=∑ ， （2）2112sin 22nn x n x ∞=+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∑ ，（3）()()2321nn nn x n ∞=+-+∑解：（1）()11212lim lim n n n n a n a n +→∞→∞==+，所以收敛半径为2R =，收敛区间()2,2-。

2x =时，级数11n n ∞=∑发散；2x =-时，()111n n n ∞=-∑收敛。

所以收敛域为[)2,2-。

（2）令122x t x +=-，原级数为21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑因为()11s i n 2111sin 2lim lim n n n n n a a n +→∞→∞⎛⎫⎪+⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以收敛半径1R =。

又1t =时级数21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，1t =-时级数21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故其收敛域为[)1,1D =-：再由12112x x +-≤≤-，解得原级数的收敛域为13,3D ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭。

（3）()1121331112333lim lim n n nn n na n a n ++→∞→∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以收敛半径13R =，收敛区间为： 11133x -<+<，即4233x -<<- 当43x =-时，原级数收敛，当23x =-时，原级数发散。

得原级数的收敛域为42,33D ⎡⎫=--⎪⎢⎣⎭。

例8：求下列级数的和函数（1）21021!n n n x n ∞+=+∑ ，（2）221212n nn n x ∞-=-∑ ，（3）()()()201123!nn n n x n ∞=-++∑ 解（1）()()12(1)1!230(1)!21121lim lim lim n n n n na n n n a n n n n +→∞→∞→∞+++===++++ 所以收敛半径R =∞，收敛域为：(),-∞+∞。

2122120000212121!!!!n n n n n n n n n n n x x x x x x x n n n n ∞∞∞∞+-====++⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ ()22222222122(12)!n x x x x x n x x x xe x e x e xe xe x n ∞='⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭∑ 即和函数22()2(12)x s x xe x =+。

（2）()()1121212122lim lim n n n n n nn a a n ++→∞→∞+==-，所以收敛半径R ==又x =(D =。

设级数的和函为()s x ，对幂级数逐项积分得，()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -∞∞-==-==∑∑⎰⎰21211()222212n n x x xxx x ∞-====--∑ ，(x ∈ 对上式两边求导得()()2222222x x s x x x '+⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，(x ∈。

（3）易求级数的收敛域为(),-∞+∞。

记级数的和函为()s x ，因为()()()()121230011sin 21!23!n n n n n n x x x x n n -∞∞++==--==-++∑∑，所以()()1231sin 23!n n n xx x n -∞+=-=-+∑， (),x ∈-∞+∞ 即()()12201sin 123!n n n xxn x-∞+=-=-+∑， ()0x ≠ 对上式两端求导得：()()()()12122111cos sin 23!n n n n x x x x n x -∞+=+-=--+∑故有()()()()()1213111cos sin 23!2n n n n S x x x x x n x -∞+=+-==--+∑， ()0x ≠ 当0x =时，由所给级数知()106S =。

因此 ()()31cos sin 02106x x x x x S x x ⎧--≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩例9 把级数 ()()121221121!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展开成1x -的幂级数。

解：记级数的和函为()s x ，即()()()()()11212122111122sin 21!221!22n n n n n n n x x s x x n n ---∞∞--==--⎛⎫=== ⎪--⎝⎭∑∑ ，()()()()()()22101111111sin 2(sin cos cos sin )222221111112sin12cos 122!2221!2nn n n n n x x x s x x x n n -∞∞==+---==+--⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑ (),x ∈-∞+∞例10 求级数()22112nn n∞=-∑的和。

解：设()()()()()22222112221021111111112112121111212111ln 122121ln 1ln 12221ln 122n n n nn n n n n n n n n n s x x x x xn n n n n x x x n x n x x x x x x n x x x x x x x x ∞∞∞∞====∞∞-+==∞+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=----- ⎪+⎝⎭⎛⎫=------- ⎪⎝⎭=--+∑∑∑∑∑∑∑()2ln 12x x x x -++1,0x x <≠故级数()22111111153ln ln ln 22422288412nn S n ∞=⎛⎫==-+++=- ⎪-⎝⎭∑。