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八年级(上)期末数学试卷(含答案)

八年级(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.(3分)下列图形中具有稳定性的是()A.直角三角形B.长方形C.正方形D.平行四边形2.(3分)已知点P1(﹣4,3)和P2(﹣4,﹣3),则P1和P2()A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于x轴对称D.不存在对称关系3.(3分)若分式的值为零,则x的值是()A.1 B.﹣1 C.±1 D.04.(3分)已知a=2﹣2,b=(π﹣2)0,c=(﹣1)3,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a5.(3分)一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h,它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间,与以最大航速逆流航行90km所用时间相等.设江水的流速为v km/h,则可列方程为()A.=B.=C.=D.=6.(3分)下列运算正确的是()A.(x3)2=x5B.(﹣2x)2÷x=4x C.(x+y)2=x2+y2D. +=1 7.(3分)如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E.BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组8.(3分)如图,在正五边形ABCDE中,连接BE,则∠ABE的度数为()A.30°B.36°C.54°D.72°9.(3分)如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2B.a(a﹣b)=a2﹣abC.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)10.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC 中点,PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出下列四个结论:①△APE≌△CPF;②AE=CF;③△EAF是等腰直角三角形;④S△ABC =2S四边形AEPF,上述结论正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分,把答案写在题中横线上)11.(3分)因式分解:x2﹣3x=.12.(3分)方程=1的解是.13.(3分)如图,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC 于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是.14.(3分)若代数式x2+kx+25是一个完全平方式,则k=.15.(3分)如图,AB=12,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动分钟后△CAP与△PQB全等.三、解答题(本大题共7个小题,共55分,解答应写出证明过程或演算步骤)16.(6分)计算:(1)[(a+b)2﹣(a﹣b)2]÷2ab(2)×÷(﹣)17.(8分)先化简,再求值:(1)(2x+y)2+(x﹣y)(x+y)﹣5x(x﹣y),其中xy=1(2)先化简1﹣+,然后从0,1,﹣1,2四个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值.18.(6分)如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.19.(8分)元旦晚会上,王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡,网上购买贺年卡的优惠条件是:购买50或50张以上享受团购价.王老师发现:零售价与团购价的比是5:4,王老师计算了一下,按计划购买贺年卡只能享受零售价,如果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价,这样她正好花了100元,而且比原计划还节约10元钱;(1)贺年卡的零售价是多少?(2)班里有多少学生?20.(8分)在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.(1)求证:BE=CE.(2)如图,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变,求证:△AEF≌△BCF.21.(8分)计算下列各式:(x﹣1)(x+1)=;(x﹣1)(x2+x+1)=;(x﹣1)(x3+x2+x+1)=;…(1)根据以上规律,直接写出下式的结果:(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=;(2)你能否由此归纳出一般性的结论(x﹣1)(x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1)=(其中n为正整数);(3)根据(2)的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果.22.(11分)如图1所示,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为直角边,A为直角顶点,在AD左侧作等腰直角三角形ADF,连接CF,AB=AC,∠BAC=90°.(1)当点D在线段BC上时(不与点B重合),线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么?请给予证明.(2)当点D在线段BC的延长线上时,(1)的结论是否仍然成立?请在图2中画出相应的图形,并说明理由.参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.(3分)下列图形中具有稳定性的是()A.直角三角形B.长方形C.正方形D.平行四边形【解答】解:三角形具有稳定性.故选:A.2.(3分)已知点P1(﹣4,3)和P2(﹣4,﹣3),则P1和P2()A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于x轴对称D.不存在对称关系【解答】解:∵P1(﹣4,3)和P2(﹣4,﹣3),∴横坐标相同,纵坐标互为相反数,∴P1和P2关于x轴对称的点,故选:C.3.(3分)若分式的值为零,则x的值是()A.1 B.﹣1 C.±1 D.0【解答】解:根据题意得,x﹣1=0且x+1≠0,解得x=1且x≠﹣1,所以x=1.故选:A.4.(3分)已知a=2﹣2,b=(π﹣2)0,c=(﹣1)3,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a【解答】解:由题可知:a=,b=1,c=﹣1∴b>a>c,故选:B.5.(3分)一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h,它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间,与以最大航速逆流航行90km所用时间相等.设江水的流速为v km/h,则可列方程为()A.=B.=C.=D.=【解答】解:设江水的流速为vkm/h,根据题意得:=,故选:D.6.(3分)下列运算正确的是()A.(x3)2=x5B.(﹣2x)2÷x=4x C.(x+y)2=x2+y2D. +=1【解答】解:A、(x3)2=x6,此选项错误;B、(﹣2x)2÷x=4x2÷x=4x,此选项正确;C、(x+y)2=x2+2xy+y2,此选项错误;D、+=﹣==﹣1,此选项错误;故选:B.7.(3分)如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E.BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组【解答】解:第①组满足SSS,能证明△ABC≌△DEF.第②组满足SAS,能证明△ABC≌△DEF.第③组满足ASA,能证明△ABC≌△DEF.第④组只是SSA,不能证明△ABC≌△DEF.所以有3组能证明△ABC≌△DEF.故符合条件的有3组.故选:C.8.(3分)如图,在正五边形ABCDE中,连接BE,则∠ABE的度数为()A.30°B.36°C.54°D.72°【解答】解:在正五边形ABCDE中,∠A=×(5﹣2)×180=108°又知△ABE是等腰三角形,∴AB=AE,∴∠ABE=(180°﹣108°)=36°.故选:B.9.(3分)如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2B.a(a﹣b)=a2﹣abC.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)【解答】解:由题意这两个图形的面积相等,∴a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),故选:D.10.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC 中点,PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出下列四个结论:①△APE≌△CPF;②AE=CF;③△EAF是等腰直角三角形;④S△ABC =2S四边形AEPF,上述结论正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC的中点,∴AP⊥BC,AP=PC,∠EAP=∠C=45°,∴∠A PF+∠CPF=90°,∵∠EPF是直角,∴∠APF+∠APE=90°,∴∠APE=∠CPF,在△APE和△CPF中,,∴△APE≌△CPF(ASA),∴AE=CF ,故①②正确;∵△AEP ≌△CFP ,同理可证△APF ≌△BPE , ∴△EFP 是等腰直角三角形,故③错误; ∵△APE ≌△CPF , ∴S △APE =S △CPF ,∴四边形AEPF =S △AEP +S △APF =S △CPF +S △BPE =S △ABC .故④正确, 故选:C .二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分,把答案写在题中横线上)11.(3分)因式分解:x 2﹣3x= x (x ﹣3) . 【解答】解:x 2﹣3x=x (x ﹣3).故答案为:x (x ﹣3)12.(3分)方程=1的解是 x=3 .【解答】解:去分母得:x ﹣1=2, 解得:x=3,经检验x=3是分式方程的解, 故答案为:x=313.(3分)如图,已知在△ABC 中,DE 是BC 的垂直平分线,垂足为E ,交AC 于点D ,若AB=6,AC=9,则△ABD 的周长是 15 .【解答】解:∵DE 是BC 的垂直平分线, ∴DB=DC ,∴△ABD 的周长=AB +AD +BD=AB +AD +DC=AB +AC=15, 故答案为:15.14.(3分)若代数式x2+kx+25是一个完全平方式,则k=﹣10或10.【解答】解:∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式,∴k=﹣10或10.故答案为:﹣10或10.15.(3分)如图,AB=12,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动4分钟后△CAP与△PQB全等.【解答】解:∵CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,∴∠A=∠B=90°,设运动x分钟后△CAP与△PQB全等;则BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12﹣x)m,分两种情况:①若BP=AC,则x=4,AP=12﹣4=8,BQ=8,AP=BQ,∴△CAP≌△PBQ;②若BP=AP,则12﹣x=x,解得:x=6,BQ=12≠AC,此时△CAP与△PQB不全等;综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等;故答案为:4.三、解答题(本大题共7个小题,共55分,解答应写出证明过程或演算步骤)16.(6分)计算:(1)[(a+b)2﹣(a﹣b)2]÷2ab(2)×÷(﹣)【解答】解:(1)原式=(a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2)÷2ab=4ab÷2ab=2;(2)原式=•(﹣)=﹣.17.(8分)先化简,再求值:(1)(2x+y)2+(x﹣y)(x+y)﹣5x(x﹣y),其中xy=1(2)先化简1﹣+,然后从0,1,﹣1,2四个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值.【解答】解:(1)原式=4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy=9xy,当xy=1时,原式=9;(2)原式=1﹣+=1﹣+=1+=,当x=0时,原式=2.18.(6分)如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.【解答】证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB、DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,在Rt△BED和Rt△DFC中,,∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴EB=FC.19.(8分)元旦晚会上,王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡,网上购买贺年卡的优惠条件是:购买50或50张以上享受团购价.王老师发现:零售价与团购价的比是5:4,王老师计算了一下,按计划购买贺年卡只能享受零售价,如果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价,这样她正好花了100元,而且比原计划还节约10元钱;(1)贺年卡的零售价是多少?(2)班里有多少学生?【解答】解:(1)设零售价为5x元,团购价为4x元,则解得,,经检验:x=是原分式方程的解,5x=2.5答:零售价为2.5元;(2)学生数为=38(人)答:王老师的班级里有38名学生.20.(8分)在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.(1)求证:BE=CE.(2)如图,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变,求证:△AEF≌△BCF.【解答】证明:(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠BAE=∠CAE,在△ABE和△ACE中,∵∴△ABE≌△ACE(SAS),∴BE=CE;(2)∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,∴∠CAD+∠C=90°,∵BF⊥AC,∠BAC=45°,∴∠CBF+∠C=90°,∠BFC=∠AFE=90°,BF=AF,∴∠CAD=∠CBF;在△AEF和△BCF中,∵,∴△AEF≌△BCF(ASA).21.(8分)计算下列各式:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1;…(1)根据以上规律,直接写出下式的结果:(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7﹣1;(2)你能否由此归纳出一般性的结论(x﹣1)(x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1)=x n﹣1(其中n为正整数);(3)根据(2)的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果.【解答】解:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1,故答案为:x2﹣1;x3﹣1;x4﹣1;(1)(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7﹣1;(2)(x﹣1)(x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1)=x n﹣1;故答案为:(1)x7﹣1;(2)x n﹣1;(3)1+2+22+23+24+…+235=(2﹣1)(235+234+233+…+2+1)=236﹣1.22.(11分)如图1所示,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为直角边,A为直角顶点,在AD左侧作等腰直角三角形ADF,连接CF,AB=AC,∠BAC=90°.(1)当点D在线段BC上时(不与点B重合),线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么?请给予证明.(2)当点D在线段BC的延长线上时,(1)的结论是否仍然成立?请在图2中画出相应的图形,并说明理由.【解答】解:(1)CF=BD,且CF⊥BD,证明如下:∵∠FAD=∠CAB=90°,∴∠FAC=∠DAB.在△ACF和△ABD中,,∴△ACF≌△ABD∴CF=BD,∠FCA=∠DBA,∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°,∴FC⊥CB,故CF=BD,且CF⊥BD.(2)(1)的结论仍然成立,如图2,∵∠CAB=∠DAF=90°,∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠CAF=∠BAD,在△ACF和△ABD中,,∴△ACF≌△ABD(SAS),∴CF=BD,∠ACF=∠B,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,∴CF⊥BD;∴CF=BD,且CF⊥BD.。

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