目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (1)2 惯性系中质点系角动量定理 (1)2.1惯性系中角动量定理的推导 (1)2.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论 (2)2.3惯性系中质点对轴的角动量定理 (3)2.4刚体定轴转动时对转轴的角动量 (3)3 非惯性系中的角动量定理 (4)4 应用 (5)4.1质点系质心系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用 (5)4.2刚体做定轴转动时对轴上任一点的角动量定理和应用 (5)5 结论 (6)参考文献 (7)对质点系角动量定理的讨论摘 要：通过对质点系角动量定理推导以及讨论其在具，体问题中的应用，并且结合其在惯性系、非惯性系以及质心系的情况下的公式和它们之间的联系，明确了解了角动量定理在解决力学相关问题的重要性，从而为解决相关力学问题提供帮助。
关键词：质点系；角动量；参考点；轴；质心Discussion on the Theorem of Angular Momentum of ParticleAbstract : Through to discuss of the particle system and angular moment theorem andits specific problems, and to combinate with the application in the inertial system, noninertial system under the conditions of the heart and the quality of the formula and the relationship between them, we understanded the angular momentum in solving problems which related to the mechanical theorems and its importance clearly , and proved a lot of help to solve the related mechanical problems.Key W ords : Particle; Angular momentum; Reference points; Axis; centroid.1引言角动量定理在质点系中的应用在力学相关问题中非常重要，本论文主要是通过上学期对质点系角动量在惯。
性系，非惯性系，以及质心系内的研究与讨论，总结出的一些公式和规律，为掌握解决问题方法提供方便。
2惯性系中质点系角动量定理2.1惯性系中角动量定理的推导质点系内各质点对参考点O 的角动量的矢量和看作质点系对O 点的角动量，设由n 个质点组成的质点系，在惯性参考系中，各质点的速度分别用1v ，2v ……i v …n v表示，相对于参考点O 的位置矢量分别为1r ，2r ……i r …n r，质量分别为1m ，2m ……i m ……n m 将质点系的角动量记作L。
则∑⨯i i i v m r L =(1)而任一质量对于参考点O 的角动量定理用于质点系内的质点I ：dtLd M i i = (2)i L 表示质点i 的角动量，质点i 所受的力矩可分为内力矩内i M 和外力矩外i M，于是dtL d M M ii i=+外内 (3) 根据牛顿第三定律，质点i 与质点j 之间的相互作用力ji ij F F-=，且二力作用在一条直线上，ij F 与ji F 到点O 的垂直距离都等于d ，故作用力ij F 与反作用力ji F对O 点的力矩大小相等方向相反，可见成对出现的内力对O 点的力矩矢量和为0，将求和与导数运算交换顺序后，并考虑到∑i L 即质点系的角动量L，得∑∑==dtL d dt L d dtL d ii (4)为力矩的矢量和，成为质点系对参考点O 的角动量定理[1]。
2.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论各种表达式之间有一定的联系。
在惯性系中对动点P 的角动量PL可表示为()C P O i i P i i i i i P ii i Pi P v m r L v m r v m r v m r r v m r L⨯-=⨯-⨯=⨯-=⨯=∑∑∑∑ (5)(5)式表明：质点系相对于惯性系中变动参考点P 的角动量P L，等于其相对于点O 的角动量OL 与其总动量C v m 平移到点P 后相对同一定点O 的角动量v m r P⨯之差[2]。
当动点P 就是质心C 时，由公式得到一般的结果C C C O v m r L L⨯⨯= (6)若把(6)式代入(5)式，可得一个非常有用的公式，即C PC C C P C C C O v m r L v m r v m r L L⨯+=⨯-⨯+=' (7)(7)式表明：质点系相对于惯性系中动点P 的角动量PL等于其对质心C的角动量CL 与质点系动量C v m 对P 点的角动量C PC v m r⨯'之矢量和。
2.3惯性系中质点对轴的角动量定理现在仅研究几个质点分别与Z 轴的垂直的平面内运动的情况，将其应用于某一点i 得()()dtv m r d dt d L M i i i i iz iz γsin==]3[ (8)质点i 所有的合力对Z 轴的力矩可分为内力矩内i M和外力矩外i M，故上式可写作()()∑=+dtv m r d MMi i i i i i γsin外内(9)由于0=∑内i M，其在Z 轴上的投影也等于0，再将求和与求导运算交换顺序，(9)式可写作()()dt L d dt v m r d z M zi i i i i=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑γsin 外 (10) 其表示质点系所受一切外力对Z 轴的力矩之和，()∑i i i i v m r γsin为质点系对Z 轴的角动量，上式表示质点系对于Z 轴的角动量对时间的变化率等于参考点所受一切外力对于Z 轴的力矩之和，叫做质点对Z 轴的角动量定理[3]。
2.4刚体定轴转动时对转轴的角动量对轴的角动量是作为对点的角动量在坐标轴上的投影而引入的。
由于刚体是较为特殊的质点系所以通过下面的综述使解决刚体的问题变得更为简单。
设OZ 轴即刚体转轴，将公式应用于刚体，刚体对轴的角动量为∑⨯=i i i z v r m L(11)因z i i r v ω⨯=，故有()z i i i r m L ω2= (12)(12)式右括号内为各质元质量与其到转动轴线垂直距离平方乘积之和，显然，它决定与刚体本身的质量分布以及转动轴线的位置，i m 叫作刚体对定轴Z 的转动惯量。
用z I 表示r m iiZ I 2∑=(13)式中2i i r m为转动惯量[4]。
刚体对Z 轴的角动量可写作z z z I L ω=，将它与动量相比，转动惯量和角速度分别可与惯性质量和速度相比拟。
这转动惯量恰是对一定转轴转动惯性的度量，正是由于这种特性导致刚体这种质点系的角动量定理变得简单了：zz i i I dtdr m ω⨯=∑2 (14)将其变形后可得()z z iz I d M ω⨯=∑(15)(15)式中dt M iz称为作用于刚体地i 个外力矩的冲量矩。
上式意为刚体对Z 轴角动量的增量等于该轴外力矩冲量矩的代数和，式用冲量矩表述的角动量定理。
并由此又进而推出了转动定理：他表示刚体绕定轴转动时刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积在数量上等于对此转动轴线的合力矩，叫做刚体定轴转动的转动定理。
由此可以与牛顿第二定律相比：力使质点产生加速度，而力矩产生角加速度。
3非惯性系中的角动量定理在非惯性系(或质心系)中对定点P (设与上述惯性系中i 点是同一点)的角动量PL ' 可表示为()pcPC p i i PC i i Ci ii PC Ci i i Pi p v m r L v m r v m r v m r r v m r L ''''''''''⨯+=⨯+⨯=⨯+=⨯=∑∑∑∑ (16)(16)式表明：在非惯性系中对定点P 的角动量PL，等于其对质心C 的角动量C L '与质心C 对点P 的位矢PC r '与PC v m '叉积之矢量和]5[。
虽然(16)式与(7)式形式相似，但其本质不同。
(7)式为在惯性系中对动点P 计算角动量P L，为在非惯性系中对同一点P 为定点计算角动量PL ' 。
可见，在不同参考系中即便是对同一点如P 点计算角动量，一般也不相等。
但对质心C，这个特殊点则恒有C C L L '=这是因为()i i cic i cii c i cii i ci C v m r v m r v v m r v m r L⨯+⨯=+⨯=⨯=∑∑∑'''''(17)显然(17)式等号右边第一项为00'''=⨯=⨯=⨯c c c i i ci v v r m v m r，第二项为C i i ci L v m r '''=⨯，即有C C L L ' =。
这说明：在惯性系中对质心C 计算角动量C L 与在质心系中对质心C 计算角动量C L '总是相等的[6]，这正是质心的一个重要特征，考虑到C C L L '=。
则由(9)式与(10)式可得()ppc pc c PC P P v m r v m v m r L L ⨯=-⨯=''''- (18)从(1)式可以看出，在两个相互平动的参考系中对同一点P 计算角动量所得值一般是不等的，除非是对质心C 或PCr ' 与PCv 平行时才有C C L L '=，这一点应当特别注意，表中式c pc p C a m r m dtJ d⨯-=''' (19)在平动加速参考系中对质心以外的其他参考点来说，合外力矩不等于角动量的时间变化率，出现附加项(惯性力力矩)c c M dtL d ''= (20)若参考点P 与质心C 重合，则0'=pc r，此时附加项为零，(17)式与(18)式等价；若pc r '平行于c a ，则附加项也为零，(19)式与(20)式等价；若0=c a （p v不一定为零），则附加项也为零，(19)式与(20)式也等价。
这说明，一般情况下附加项与点C 的加速度有关，与点C 的速度无关[7]。
4应用4.1质点系质心系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用角动量定理的数学表达式为：dtL d Ma a= (21)其中：i i a F r M⨯=∑外，i i i o v m r L⨯=∑分别为质点系外力矩的矢量和与质点系的角动量。