规律转化为数学符号．
3．已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的一个交点坐标为 (4, 0) ，其部分图象如图所示，下
列结论：①抛物线一定过原点；②方程 ax2 bx c 0a 0 的解为 x 0 或 4；
③ a b c 0；④当 0 x 4时， ax2 bx c 0 ；⑤当 x 2 时， y 随 x 增大而增
【详解】 ①由 x＝2 时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确； ②方程 ax2+bx+c＝0 两根分别为 1，3，都大于 0，故正确； ③当 x＜2 时，由图象知：y 随 x 的增大而减小，故错误；
④由图象开口向上，a＞0，与 y 轴交于正半轴，c＞0，x=﹣ ＝1＞0，∴b＜0，
5．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x＝﹣1，当 y＞0 时，x 的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜1
B．﹣3＜x＜﹣1
C．x＜1
D．﹣3＜x＜1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件求出抛物线与 x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.
【详解】
大．其中结论正确的个数有（ ）
A．1 【答案】D 【解析】
B．2
C．3
D．4
【分析】
根据题意，求得 a, b, c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.
【详解】
由题可知 b 2 ，与 x 轴的一个交点坐标为 (4, 0) ，则另一个交点坐标为 0, 0 ，
2a 故可得16a 4b c 0 ， c 0 ， 故可得 4a b, c 0 ①因为 c 0 ，故①正确；
∴bc＜0，∴一次函数 y＝x+bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确； 故正确的共有 3 个， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.
8．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0
B．b＞0
C．a+c＜0
故选：D． 【点睛】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解 决问题的关键．
10．若二次函数 y ax2 2ax c 的图象经过点（﹣1，0），则方程 ax2 2ax c 0 的
解为（ ）
A． x1 3 ， x2 1 B． x1 1 ， x2 3
y 0，即 4a 2b c 0 ，将 2a 3b代入可得 c 4b 0.
【详解】
①根据抛物线开口方向得到 a 0 ，根据对称轴 x b 0 得到 b 0 ，根据抛物线与 y 2a
轴的交点在 x 轴下方得到 c 0 ，所以 abc 0 ，故①正确.
② x 1 时，由图像可知此时 y 0，即 a b c 0，故②正确.
D．当原数取 50 时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为 m，则新数为 1 m2 ， 100
设新数与原数的差为 y
则 y m 1 m2 1 m2 m ，
100
100
易得，当 m＝0 时，y＝0，则 A 错误
4．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc＜0； ②a＋b＋c＞0；③2a＋b＝0；④4ac＞b2．其中错误的是( )
A．②④
B．①③④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向得到 a 0 ，利用对称轴在 y 轴的右侧得到 b 0 ，利用抛物线与 y 轴
本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
2．一列自然数 0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以 100，得到 一列新数．则下列结论正确的是（ ） A．原数与对应新数的差不可能等于零 B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数与对应新数的差等于 21 时，原数等于 30
∵ 1 0 100
m ﹣ b ﹣ 1 50
当
2a
2
﹣1010
时，y 有最大值．则 B 错误，D 正确．
当 y＝21 时， 1 m2 m ＝21 100
解得 m1 ＝30， m2 ＝70，则 C 错误．
故答案选：D． 【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字
9．如图，坐标平面上，二次函数 y＝﹣x2+4x﹣k 的图形与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 于 C 点，其顶点为 D，且 k＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为 1：4，则 k 值为何？( )
A．1
B． 1
C． 4
D． 4
2
3
5
【答案】D
【解析】
【分析】
求出顶点和 C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于 k 的方程，解方程即可．
a 和 b 异号，
b 0 ，
抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c 0，
bc 0 ，所以①错误；
当 x 1时， y 0 ， a b c 0 ，所以②错误；
抛物线经过点 (1, 0) 和点 (3, 0) ， 抛物线的对称轴为直线 x 1 ， 即 b 1，
2a 2a b 0 ，所以③正确；
反比例函数 y= b 图象分布在第二、四象限， x
故选 D． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关 键．
7．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0； （2）方程 ax2+bx+c＝0 两根都大于零；（3）y 随 x 的增大而增大；（4）一次函数 y＝x+bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）
的交点在 x 轴下方得到 c 0 ，则可对 A 进行判断；利用当 x 1 时， y 0 可对 B 进行判
断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x b 1，则可对 C 进行判断； 2a
根据抛物线与 x 轴的交点个数对 D 进行判断．
【详解】
解： 抛物线开口向上，
a 0， 对称轴在 y 轴的右侧，
设 P（2x，0），根据二次函数的对称性得出 OF=PF=x， ∵BF∥DE∥CM， ∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．
抛物线与 x 轴有 2 个交点， △ b2 4ac 0 ， 即 4ac b2 ，所以④错误．
综上所述：③正确；①②④错误．
故选： C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y ax2 bx c(a 0) ，二次项系 数 a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 （左同右异）．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 (0,c) ．抛物线与 x 轴交点个数由△决定．
③由对称轴 x b 1 ，可得 2a 3b 0 ，所以 2a 3b 0 错误，故③错误； 2a 3
④当 x 2 时，由图像可知此时 y 0，即 4a 2b c 0 ，将③中 2a 3b 0 变形为
2a 3b，代入可得 c 4b 0，故④正确.
故答案选 D. 【点睛】
与 x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程 ax2 2ax c 0 的解为： x1 1 ， x2 3 ．
故选 C． 考点：抛物线与 x 轴的交点．
11．如图，已知点 A（4，0），O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O， A），过 P、O 两点的二次函数 y1 和过 P、A 两点的二次函数 y2 的图象开口均向下，它们的 顶点分别为 B、C，射线 OB 与 AC 相交于点 D．当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值 之和等于（）
解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x＝﹣1，
∴抛物线与 x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），
∴当 y＞0 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜1．
所以答案为：D． 【点睛】 此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与 x 轴的一个交点即可求出抛物线与 x 轴的另 一个交点坐标.
②因为二次函数过点 0,0,4,0 ，故②正确；
③当 x 1 时，函数值为 a b c 0，故③正确； ④由图可知，当 0 x 4时， y 0 ，故④正确； ⑤由图可知，当 x 2 时， y 随 x 增大而减小，故⑤错误；
故选：D. 【点睛】 本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.
人教版初中数学二次函数专项训练及答案
一、选择题 1．如图是二次函数 y ax2 bx c 的图象，有下面四个结论： ①abc 0 ； ②a b c 0 ； ③2a 3b 0 ； ④c 4b 0 ，其中正确的结论是 ( )
A． ①②
B． ①②③
C． ①③④
D． ①②④
【答案】D 【解析】
A． 5
B． 4 5 3
C．3
D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
过 B 作 BF⊥OA 于 F，过 D 作 DE⊥OA 于 E，过 C 作 CM⊥OA 于 M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA， ∴BF∥DE∥CM． ∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA= 1 OA=2． 2
由勾股定理得：DE= 5 ．
6．如图,二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示,则一次函数 y ax c 和反比例函数 y b 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）