第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数活动1知识准备1.y＝3x－1是函数；y＝12x既是一次函数，又是函数.2.对于函数y＝（m＋1）x m2－2，当m＝时，该函数是正比例函数.活动2教材导学二次函数的概念（1）正方形的边长是x cm，面积是y cm2，则y关于x的函数关系式是 .因为x2是二次项，所以它（填“是”或“不是”）一次函数.（2）用一根长800 cm的木条做一个长方形的窗框，若其中一边长为x cm，则它的面积y cm2与x cm之间的函数关系式为，要使自变量x有现实意义，它的取值范围是.（3）以上两个函数有什么共同特点？►知识点一二次函数的定义一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数.其中，x 是自变量，a，b，c分别是函数解析式的, 和.►知识点二用二次函数表示变量之间的关系在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是.在实际问题中，自变量的取值要使有意义.探究问题一二次函数的判别例1下列函数中，哪些是关于x的二次函数？（1）y＝9x2－x；（2）y＝－13x2；（3）y＝4－x＋x3；（4）y＝1x2＋x2；（5）y＝（x－1）2－（x＋1）（x－2）；（6）y＝ax2＋4x＋1.[归纳总结] 判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件：（1）；（2）；（3）是自变量的二次式.探究问题二用二次函数表示变量之间的关系例2[教材问题1变式题]暑假期间，九（8）班n名同学约定每两个同学之间通电话一次.（1）写出互通电话的次数m与n之间的函数解析式，并指出m是n的什么函数；（2）当n＝10时，互通电话的次数是多少？一、选择题1.下列函数中属于二次函数的是（ ）A.y ＝x （x ＋1）B.xy ＝1C.y ＝2x 2－2（x ＋1）2D.y ＝3x 2＋1 2.下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ） ①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；②圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；③物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）；④导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）.A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列函数的自变量的取值范围不是任意实数的是（ ）A.y ＝－3xB.y ＝4x ＋2C.y ＝6xD.y ＝x 2－2x4.半径是3的圆，如果半径增加2x ，那么面积S 和x 之间的函数关系式是（ ）A.S ＝2π（x ＋3）2B.S ＝9π＋xC.S ＝4πx 2＋12x ＋9D.S ＝4πx 2＋12πx ＋9π5.若函数y ＝（2－m ）·x m 2－2是关于x 的二次函数，则m 的值是（ ） A.2 B.－2 C.±2 D.±16.用一根长为50 cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A.y ＝－x 2＋50xB.y ＝x 2－50xC.y ＝－x 2＋25xD.y ＝－2x 2＋257.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品的售价为x 元，则可卖出（350－10x ）件，那么商品所赚钱数y 元与售价x 元之间的函数关系式为（ ）A.y ＝－10x 2－560x ＋7350B.y ＝－10x 2＋560x －7350C.y ＝－10x 2＋350xD.y ＝－10x 2＋350x －7350 二、填空题8.二次函数y ＝ax 2中，当x ＝1时，y ＝2，则a ＝ . 三、解答题9.把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项. （1）y ＝x 2＋（x ＋1）2； （2）y ＝（2x ＋3）（x －1）＋5； （3）y ＝4x 2－12x （1＋x ）； （4）y ＝（x ＋1）（x －1）.[归纳] 在确定二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项时，需先把函数关系式化为 .22.1.2 二次函数y＝a x2的图象和性质活动1知识准备1.一次函数的图象是一条.2.画函数图象的主要步骤是、、.3.请你写出一次项系数、常数项都为0的一个二次函数：.4.点（－2，4）关于y轴对称的点的坐标是.活动2教材导学1.二次函数y＝ax2的图象（1）画二次函数y＝x2的图象.列表：在图22－1－10的平面直角坐标系里画出二次函数y＝x的图象.在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，便得到了二次函数的图象，我们把这样的图象叫做，抛物线有一条对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的.（2）在上面的平面直角坐标系里画出二次函数y＝－x2的图象.2.二次函数y＝ax2图象的性质二次函数y＝x2图象的特点：（1）抛物线的开口向（填“下”或“上”）；（2）图象是中心对称图形还是轴对称图形？；对称轴是。

（3）当x＜0时，曲线自左向右（填“下降”或“上升”），即y值随x值的增大而（填“增大”或“减小”）；（4）当x＞0时，曲线自左向右（填“下降”或“上升”），即y值随x值的增大而（填“增大”或“减小”）；（5）图象在x轴的（填“上方”或“下方”）；（6）顶点是抛物线上位置最（填“高”或“低”）的点，y有最（填“大”或“小”）值，顶点坐标是。

思考：类似地，你能得出二次函数y＝－x2图象的特点吗？►；探究问题一画二次函数y＝ax2的图象例1在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y＝x2，y＝12x2，y＝2x2的图象，并比较三个图象的相同点与不同点.三个函数图象的相同点：.不同点：一、选择题1.关于二次函数y＝x2的图象，下列说法错误的是（）A.它的形状是一条抛物线B.它的开口向上，且关于y轴对称C.它的顶点是抛物线的最高点D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）2.[毕节中考]抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2的共同性质是（）A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大3.如图22－1－14所示，根据图象提供的信息，下列结论正确的是（）A.a1>a2>a3>a4B.a1<a2<a3<a4C.a4>a1>a2>a3D.a2>a3>a1>a44.[宁夏中考]已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）二、填空题5.抛物线y＝10x2的开口方向是，顶点坐标是，对称轴是；抛物线y＝－2 5x2的开口方向是，顶点坐标是，对称轴是Ｗ.6.已知抛物线y＝－2x2经过点（1，y1）和（2，y2），则y1与y2的大小关系是Ｗ.7.如图22－1－16所示，图中抛物线是某个二次函数的图象，则此二次函数的解析式为，根据图象知，当x＝时，y的值最大.22.1.3 二次函数y＝ax2＋k的图像和性质二次函数y＝ax2＋k的图象与性质在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y＝x2，y＝x2＋1，y＝x2－1，的图象，并比较三个图象的相同点与不同点.归纳：（1）抛物线y＝x2＋1：开口向，对称轴是轴，顶点为. （2）抛物线y＝x2－1：开口向，对称轴是轴，顶点为.2.抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1与抛物线y＝x2的关系：抛物线y＝x2抛物线y＝x2＋1；抛物线y＝x2 抛物线y＝x2－1.y＝ax2 y＝ax2＋k（k＞0）. y＝ax2 y＝ax2－k（k＞0）.口诀：上加下减.例1 抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝－5x 2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标是（0，3），则其解析式为 ，它是由抛物线y ＝－5x 2向 平移 个单位长度得到的.例2如图22－1－23所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m .以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m .（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道？ 通过计算说明理由.一、选择题1.下列函数中，图象形状、开口方向相同的是（ ）①y ＝－x 2；②y ＝－2x 2；③y ＝12x 2－1；④y ＝x 2＋2；⑤y ＝－2x 2＋3.A.①④B.②⑤C.②③⑤D.①②⑤ 2.抛物线y ＝2x 2－5的顶点坐标为（ ）A.（2，5）B.（－2，5）C.（0，－5）D.（0，5）3.[上海中考] 如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是（ ） A .y ＝（x －1）2＋2 B .y ＝（x ＋1）2＋2 C .y ＝x 2＋1 D .y ＝x 2＋34.当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋a 的图象经过的象限是（ ）A .第三、四象限B .第一、二象限C .第二、三、四象限D .第一、二、三象限5.对于二次函数y ＝－13x 2＋2，当x 为x 1和x 2时，对应的函数值分别为y 1和y 2.若x 1>x 2>0，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A .y 1>y 2B .y 1<y 2C .y 1＝y 2D .无法比较6.函数y ＝ax ＋b （a ≠0）与y ＝ax 2＋b 在同一坐标系中的大致图象是（ ）7.抛物线y ＝x 2－4与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积是（ ） A .16 B .8 C .4 D .2 二、填空题8.（1）抛物线y ＝－12x 2－1的开口方向是 ，顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ，当x>0时，函数值y 随x 的增大而 ；当x<0时，函数值y 随x 的增大而 ；抛物线y ＝－12x 2－1可由抛物线y ＝－12x 2向 平移 个单位长度得到；9.若抛物线y ＝ax 2－1经过点（4，31），则a ＝ ，在这个函数图象上该点关于对称轴对称的点为 .10. 将二次函数y ＝2x 2－1的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 . 三、解答题11.若抛物线y ＝ax 2＋k 经过点A （－3，2），B （0，－1），求该抛物线的解析式.12.二次函数y ＝－12x 2＋k 的图象经过点D ⎝⎛⎭⎫－3，92，与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧. （1）求k 的值；（2）求A ，B 两点的坐标.13.已知抛物线y ＝12x 2，把它向下平移，得到的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C.若△ABC 是直角三角形，则原抛物线应向下平移几个单位长度？14.某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB （单位：米），现以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立如图22－1－27所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB ＝8米，抛物线的解析式为y ＝ax 2－4.（1）求a 的值；（2）点C （－1，m ）是抛物线上一点，点C 关于原点O 的对称点为点D ，连接CD ，BC ，BD ，求△BCD 的面积.22.1.3 .1 二次函数y＝a(x-h)2的图象和性质问题：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝－12x2 、y＝－12()x＋12和y＝－12()x－12的图象。