证明 如图，设 AD 与 BC 交于点 L,DB 与 CA 交于点 U.设☉O1、☉O2 的半径分别为 、 ， t ,作位似变换 H(P,-k).
则 A⟶ E,B⟶ F,C⟶ G,D⟶ H,L⟶ T,U⟶ V. 于是 UL∥VT. 由熟知结论得点 K 关于☉O2 的极线为 UL,从而，UL⊥KO2. 故 VT⊥KO2.
高联班几何测试题（52）
时间：120 分钟
命题人：万喜人
52-1 在△ABC 中，AB≠AC,点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上，AE=AF,AD、 BE、CF 三线共点于 P,DT⊥EF 于 T,△ABC 的外接圆φ与△AEF 的外接圆ε相交于点 A、K,直线 AT 交圆φ交于点 A、V, 圆φ的过 BC 的切线相交于点 X.求证：K、V、X 三点共线.
证明 如图，作 BL⊥EF 于点 L, CJ⊥EF 于 点 J,联结线段如图所示.
对△ABC 及点 P,由塞瓦定理得 Ⰸ · tt
Ⰸt t
又 AF=EA
所以，tt tⰈ .
t
又因 BL∥DT∥CJ,
由 AE=AF 得∠BFL=∠CEJ
⟹ Rt△BFL∽Rt△CEJ.
所以， t tt tⰈ Ⰸ
t㔠Ⰸ
tt
52-3 ☉O1 与☉O2 外切于点 P,点 K 在☉O1 上，过点 K 任作一直线交☉O2 于 点 A、B,直线 AP、BP 与☉O1 的第二个交点分别为 E、F. 过点 K 作另一直线交☉ O2 于点 C、D,直线 CP、DP 与☉O1 的第二个交点分别为 G、H,直线 EH 与 FG 交于点 T, 直线 EG 与 FH 交于点 H.求证：VT⊥KO2.
证明 如图，设直线 BE、CF 分别交直线 AD 于点 T、K，设直线 FE 交 AD 于点 P,AM 交 BC 于点 N.
因 AE⊥BM,AF⊥CM,AD⊥AM. 则 A、E、M、F 四点共圆.AD 为其 切线. 因∠PET=∠MEF=∠MAF=∠K, 则 E、F、K、T 四点共圆. 于是，AP2=PE·PF=PT·PK. 因(B,C;N,D）为调和点列， 则 M(B,C;N,D）为调和线束. 从而，(T,K;A,D）为调和点列， 于是，P 为 AD 的中点，即直线 FE 平分线段 AD.
证明 （1）如图，过点 P 作☉O 的另一切线（ 上一点.联结线段如图所示.
因 OK⊥PK,OA⊥PA,OE⊥PE,则 P、A、O、K、E 五点共圆. 所以，∠PEA=∠PKA=∠KBA, 又∠PAB=∠T, 则∠APE=180°-∠PAB=180°-∠T=∠AKB 从而△APE∽△AKB, 故∠EKP=∠EAP=∠BAK. 又因∠MKC=∠CAK, 所以，∠EKC=∠CAB=∠EDC.
52-5 PA 与☉O 相切于点 A,AB 是☉O 的弦，PB 交☉O 于点 B、C,PD∥AB 交 AC 的延长线于点 D,作 OE⊥PD 于点 E, ☉(CDE) (表示过 C、D、E 三点的圆)与☉ O 点 C、F,PF 交☉(CDE) 于点 F、M，点 N 为 PA 的中点.求证：（1） PF 是☉O 的 切线；（2） D、M、N 三点共线.
52-4 在△ABC 中，点 E、F 均在形内，且∠ABE=∠CBF, ∠ACF=∠BCE,点 A 在直线 BE、CE、BF、CF 上的射影分别 为 M、N、U、V,直线 MN 与 UV 交于点 P,AP 与 BC 交于点 K.求证：（1） AK⊥EF,( 2) AP=PK.
证明 （陕西省西安市铁一中杨运新解答） （1）因 AM⊥BE,AN⊥CE,则 A、M、E、N 四点共圆，此圆圆心为 AE 的中点 S, 简记☉S. 因 AU⊥BF,AN⊥CF, 则 A、F、U、V 四点共圆，此圆圆心为 AF 的中点 T,简记 ☉T. 因 E、F 为△ABC 内的等角共轭点，则可设∠BAE=∠CAF=α,∠ABE=∠CBF=β， ∠ACF=∠BCE=γ,△ABC 的三内角简记为∠A、∠B、∠C. 因 A、M、E、N,A、B、U、M 分别为四点共圆， 则∠PMU=∠NME+∠BMU=∠NAE+∠BAU=90°-∠CAE-∠ACE+90°-∠ABF = 90°-（∠A-α）-（∠C-γ）+90°-（∠B-β）=α + β + γ . 类似地，∠PUM、∠PVN、∠PNV 都等于α + β + γ .
于是，四边形 MVNU 是等腰梯形或矩形. 从而，M、V、N、U 四点共圆⟹ PM·PN =PV·PU, 即点 P 对☉S 与☉T 的幂 相等，P 在☉S 与☉T 的根轴上. 又点 A 是☉S 与☉T 的公共点，点 A 在☉S 与☉T 的根轴上. 所以，直线 AK 是☉S 与☉T 的根轴，AK⊥ST. 又因 ST 是△AEF 的中位线，ST∥EF. 故 AK⊥EF.
(2)设 AB、AC 的中点分别为 J、L. 因四边形 MVNU 是等腰梯形或矩形，则 MU 与 VN 有公共的中垂线 g,点 P 在直 线 g 上.
因 JM= AB=JU,则点 J 在直线 g 上.
同理，点 L 在直线 g 上. 从而，g 是△ABC 中平行于 BC 的中位线所在的直线. 所以，AP=PK.
t㔠
Ⰸt sin Ⰸ t t .
t sin t
因∠ABK=∠ACK, ∠AFK=∠AEK⟹∠BFK=∠CEK, 则△BFK∽△CEK
故tt tⰈ t .
t
因为 XB、XC 为圆φ的切线. 所以，K、V、X 三点共线.
52-2 在△ABC 中，AB＞AC,∠BAC 的外角平分线交 BC 于点 D,点 M 在∠BAC 的平分线上，AE⊥BM 于点 E,AF⊥CM 于点 F.求证：直线 FE 平分线段 AD.
点 K 在☉(CDE)上. 于是，点 K 是☉(CDE)与☉O 除点 C 外的第 二个交点，点 K 与 F 重合. 所以，PF 是☉O 的切线. （2）因∠DPC=∠ABC=∠PAC, 则 DP2=DC· DA,即点 D 对点圆 P 与☉O 的幂相等，点 D 在点圆 P 与☉O 的根 轴上. 又∠MDC=∠MFC=∠FAC,则 DM∥AF. 因点圆 P 与☉O 的根轴是过 PA、PF 中点的直线，平行于 AF,也就是说，过点 圆 P 与☉O 根轴上一个点且平行于 AF 的直线就是根轴. 所以，D、M、N 三点共线，此直线为点圆 P 与☉O 的根轴.