的一个极点．
定义3.2.3 设 X 1, X 2, , X k是 n 维欧氏空间 En 中的 k 个
点，若存在 1,2, ,k ，且 0 i 1i 1,2, ,k ， i 1 ，使
凸组合 ，则称 是 的 X 1X 1 2 X 2 k X k
i
X X 1, X 2, , X k
．
由此可见，凸集与极点的定义都与两点的凸组合密 切相关．可以证明：有界凸集的任意一点都可以表示为 该集的极点的凸组合．
即可。
例6 将下列线性规划模型化为标准形式
min z x1 2x2 4x3
x1 x2 x3 4
s.t.
2x1 x2 3x3 5 x1 3x2 x3 6
3x1 x2 2x3 7
x1 0, x2 0, x3无约束
解：以 x2 代替 x2 ；令 x3 x4 x5 ，x4 0，x5 0 ；z z 上述线性规划模型可化为标准型：
s.t.
n j 1
aij x j
bi i
1,2,
,m
x j 0 j 1,2, , n
（2）向量表示的缩写
max z C T X
n
s.t. j1 Pj x j b X 0
其中
C c1, c2 , , cn T ; X x1, x2 , , xn T ;
Pj a1 j , a2 j , , amj T ;
线性关系：约束条件及目标函数均保持线性关系．
具有以上特点的决策问题，被称之为线性规划问题。
二、线性规划问题的数学模型
一般形式 标准形式 缩写形式
1、LP问题的一般形式
maxminz c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn , b1
s.t.
在等式左端加上一个非负变量（称为松驰变量），可化
为等式；当约束为“≥”时，在等式左端减去一个非负
变量（称之为剩余变量），也可化为等式．
3、将决策变量化为非负。
若决策变量
xk 为无约束，可令
xk
xk'
xk''
，其中
x
' k
≥0，x
'' k
≥0，xk
的符号由
x
' k
和
x k''的大小决定，即用两个非
负的新变量之差代替．若决策变量 xk≤0，只须令 xk = xk'
例1 求下列线性规划问题
max z 3x1 4x2 x3 2x4 x1 x2 x3 x4 25
s.t.x1 2x2 x3 2x4 36 x1, x2 , x3, x4 0
解：化为标准形
max z 3x1 4x2 x3 2x4 x1 x2 x3 x4 x5 25
b b1, b2 , , bm; T ;
（3）矩阵表示的缩写
max z C T X
AX b
s.t.
X
0
其中 A aij mn P1, P2, , Pn， 其它同前．我们称 为A 约束
方程组的系数矩阵，一般 m n， m 与 n均为正整数．
三、线性规划模型的标准化
1、将极小化目标函数转化为极大化目标函数．
能既满足需要，又使总的用料最少？（各种可能的搭配 方案如表3-3所示）．
表 3-3
解：设第 j 种方式所用的原材料根数为 x j
目标函数 min z x1 x2 x3 x4
约束条件
3x1
2x2 x3 2x2 4x3
6x4
100 200
x j 0 j 1,2,3,4
以上例子，尽管其实际问题的背景不同，但讨论的 都是资源的最优分配问题．它具有如下一些共同特点：
使费用最省？ 表 3-2
解：设每天购买食品A、B分别为 x1，x2 个单位
目标函数 min z 0.9x1 0.8x2
约束条件
x1 2x2 2
3
x1
x2
一批某种型号的圆钢长8m，需要截取长2.5m的毛 坯100根，长1.3m的毛坯200根，问怎样选择下料方式，才
a22x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x j 0 j 1,2, , n
线性规划问题的标准形式要求所有约束必须为等 式约束，所有变量为非负变量，并且本教材规定为目 标函数极大化．
3、LP问题的缩写形式
（1）线性规划模型的一般缩写
n
max z c j x j j 1
二、解的性质
定义3.2.1 设 C为 n维欧氏空间 En中的一个集合，如
果对于任意 X ,Y C, 0 1，有X 1 Y C ，则称集
合C为凸集．
定义3.2.2 设 C E n , X C．如果 X 不能用C中不同的
两个点 Y 和 Z表示为 X Y 1 Z,0 1 ，则 X称为 C
性质3.2.1 线性规划问题所有的可行解组成的集合 S X | AX b, X 0是凸集．
性质3.2.2 X是线性规划问题标准形式的基本可行解 的充要条件是： X为可行域 S X | AX b, X 0 的极点．
凸集
极点
凸集
不是凸集
性质3.2.3 （线性规划基本定理）给定线性规划问题 ， A是秩为m的 m n 矩阵．
求一个函数的极小值等价于求该函数相反值的极大
值，若求：min
z
n
c
j
x
j
,
则可先将目标函数乘以（-1）化为
j 1
n
求极大值问题，即求：max z z c j x j 。因此只需要改
j 1
变目标函数的符号就可以完成极大与极小之间的转换．
2、把不等式约束转化为等式约束．
可以在约束条件中添置变量：当约束为“≤”时，
x1进基， x5离基，
z' x1 x2 x3 x4 x5 x6 RHS z' 11 10 0 --34 --2 -02 -21 --8762 x51 00 11/2 0 1/12 00 12 -1-/12 174 xx22 0 10/2 1 10/2 1 -01 1/12 1118
x2进基， x6离基，
z' x1 x2 x3 x4 x5 x6 RHS z' 11 31 40 --13 2-2 00 -02 -702 x5 00 11/2 10 11/2 10 11 -10/2 275 7/1/2 x2 00 11/2 21 11/2 21 00 11/2 1368 18/1/2
第三章 线性规划
线性规划（Linear Programming，简称LP）是运筹学
的一个重要分支，其研究始于20世纪30年代末．许多人把 线性规划的发展列为20世纪中期最重要的科学进步之一。 1939年，苏联数学家康脱洛维奇研究并发表了《生产组织 与计划的数学方法》一书，首次提出了线性规划问题， 1947年美国数学家丹捷格提出求解线性规划的一般方法 —单纯形法．从而使线性规划在理论上趋于成熟．后来 随着计算机技术的迅速发展，大型线性规划问题的迅速 求解成为可能，从而使线性规划的应用范围日益广泛． 目前，线性规划已广泛应用于工业、农业、商业、交通 运输、经济管理和国防等部门的计划管理与决策分析， 成为现代管理的有力工具之一．
若存在可行解，则必存在基本可行解； 若存在有界最优解，则必存在有界最优基本可行解。
该性质表明：在寻找线性规划的最优解时，只需在 其基本可行解中寻找．按性质3.2.2，基本可行解是可行 域的极点，因此若线性规划有最优解，则必定能在其可 行域的某个极点得到．
第三节 单纯形法
单纯形法的基本思想是根据线性规划的解的 性质，在可行域中找到一个基本可行解作初始 解；并检验此解是否是最优解，若是最优解可结 束计算，否则就转到另一个基本可行解，并使目 标函数值得到改进；然后对新解进行检验，以决 定是否需要继续进行转换，一直到求得最优解为 止．
am1x1 am2 x2 amnxn bm
x j 0 ( j 1,2, , n)
(3.2.1) (3.2.2) (3.2.3)
1、可行解
满足线性规划约束条件（3.2.2）和（3.2.3）的解
X x1, x2, , xn T 称为线性规划问题的可行解，而所有可 行解的集合称为可行域．
s.t.x1 2x2 x3 2x4 x6 36 x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 0
写出单纯形表
z' x1 x2 x3 x4 x5 x6 RHS z' 1 3 4 -1 2 0 0 0 x5 0 1 1 1 1 1 0 25 25/1 x6 0 1 2 1 2 0 1 36 36/2
max z x1 2x2 4x4 x5 0x6 0x7 0x8
x1 x2 x4 x5 x6 4
s.t.
2x1 x2 x1 3x2
3x4 x5 x4 x5
x7 x8
5 6
3x1 x2
x j 0,
2x4 x5 j 1,2,3,4,5,6,7,8
7
其中 x6, x8为松驰变量，x7为剩余变量．
第二节 LP问题的解及其性质
解的概念 解的性质
一、解的概念
设线性规划模型的标准形式为
max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
2、最优解
使上模型中（3.2.1）式成立的可行解称为线性规划
问题的最优解．
3、基底
设 A为约束方程组（3.2.2）的 m n阶系数矩阵，其 秩为m，则 A中任意 m 个线性无关的列向量构成 m m 阶
子矩阵称为线性规划问题的一个基底（基矩阵或简称为 一个基），一般记为 B ．