-
M F
P M
F
9
解： 如图所示
在抛物线 y2 = 2x上任取一点 P’(x’,y’),作P’N’⊥准线L，作MN ⊥L ，MN交抛物线于P（x，y） 由抛物线的定义得：
N’
P’
N
M
P
F
|P’F|= |P’N’| 即：|P’F|+|P’M|= |P’N’|+|P’M| 当P’和P重合时，即PN⊥L，N、P、M三点共线，
11 。
2
-
2
2
法二、判别式法
过Ａ作同心圆,当圆与抛物线相切 时,Ｐ到Ａ点的距离最小,设为r
则 由 (y2x3x2)y2 r2
x 2 5 9 x r 2 0
可 得 :Δ( - 52 )41( 9r2)0
r
11 2
-
3
练习：
若P为抛物线y2=x上一动点，Q为圆（x-3)2+y2=1 上
∴ |P’M|+ |P’N’| ≥ |PM|+|PN|= |PM|+|PF|
又∵点P的纵坐标等于点M的纵坐标，即y=2
所以，点P的坐标为（2，2）
-
10
练习、
P为抛物线x2=4y上的一动点，定点A（8,7）,求 P到x轴与到点A的距离之和的最小值 9
y P A
F
O
x
y P A
所求p
F
点位置
O
x
Q
-
L y
A(4,4)
P
分析2：我们可以连接AB，作平 行AB的直线L与抛物线相切，求 出直线L的方程，即可求出直线L 与AB间的距离，从而求出△ABP 面积的最大值和点P的坐标。
o
x
B(1,-2)
-
7
小结：
对于抛物线上一点到定点或者是定直线的最值 问题，可以由两点间距离公式或者点到直线的 距离公式建立目标函数，再用函数最值的方法 求解；也可以通过一些几何性质和已知条件构 造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判 断方程的判别式寻求题目的答案。
-
14
11
小结：
几何法，运用数形结合的思想，利用抛物线的定 义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，将图 形局部进行转化，使最值问题得以求解
-
12
练习：
1.已知M为 (a抛 ,0物 )2线 2ypx(0p)的对称 上的一个定点在 上抛 求物 一线 点N, 使得 MN 最小
2、求抛物线y2=64x上的点到直线 4x+3y+46=0 距离最小值，并求取得最小值 时抛物线上的点的坐标
-
13
课堂小结：
在解析几何中，常见的最值问题的求解方法主要 有以下几种： 函数法：选择恰当的变量，根据题意建立目标函数，
再探求目标函数的最值方法。
判别式法：利用已知条件构造一个含有某一变量的一 元二次方程，通过判断方程的判别式寻求 题目的答案。
几何法：利用数形结合的思想，借助于几何图形中的 一些特点，将图形局部进行转化，使最值问 题得以求解。
b 9 16
L 与 L 1的距离是
d
6
(
9 16
)
32 (4)2
87 80
为所求 .
-
y o
y=x2
L1 L
x
6
练习：已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点
A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边△ABP，其顶点P
在抛物线的弧AB上运动，求： △ABP的最大面积
及此时点P的坐标。
分析1：动点在弧AB上运动，可以 设出点P的坐标，只要求出点P到线 段AB所在直线AB的最大距离即为 点P到线段AB的最大距离，也就求 出了△ABP的最大面积。
8
16
5
当 x 3 时，ห้องสมุดไป่ตู้d 有最小值为 8
87 。 8-0
P(x,y)
o
x
5
法二、判别式法
解：当L平移到与抛物线y=x2只有一个公共点时,设此时的 直线为L1，其方程为3x-4y-b=0。则L与L1的距离即为所求。
3x-4y+b=0
①
y=x2
②
②代入①可得：4x2 -3x+b=0
∴ ⊿=(-3)2-4×4×b=0 可得
-
8
例三、
已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点， 在此抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值， 求点P的坐标
分析：如图，由抛物线的定义：
抛物线上的点到焦点的距离 与到准线的距离相等。
即|PF| = |PN|
∴ |PM|+|PF|= |PM|+|PN|
N
∴当 M、P、N三点共 线时距离之和最小。
一动点，求|PQ|的最小值
11 1 2
-
4
例二、 设P为抛物线y= x2上的一动点，求P点到直线 L: 3x-4y-6=0的距离的最小值。
法一、目标函数法
解：设 P ( x, y )
y
y=x2
P 点在抛物线上，
y x2
3x 4y 6 d
5
3x 4x 2 6
5
4 ( x 3 ) 2 87
-
1
例一、 点P在抛物线y2=x上，定点A(3,0),求|PA|的最小值。
法一、目标函数法
解：设 P ( x , y ) P 点在抛物线上，
y2 x
PA ( x 3 ) 2 y 2
x 2 6x 9 x
x 2 5x 9
( x 5 ) 2 11
2
4
当 x 5 时， PA 取最小值