第二十讲 点共线与线共点趣题引路】例1 证明梅涅劳斯定理：如图20-1，在△ABC 中，一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于D 、E 、F 三点。

求证：1=⋅⋅DBADEA CE FC BF 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C 作CG /∥EF 交AB 于G . ,,BF BD EC DGCF DG AE AD∴== ∴1=⋅⋅=⋅⋅BDADAD DG DG BD BD AD EA CE FC BF例2 证明塞瓦定理：如图20-2，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD 证明,,.BCP ACPABP ACP BAP BCPS S S BD CE AF DC S EA S FB S ∆∆∆∆∆∆===∴1=⋅⋅=⋅⋅∆∆∆∆∆∆BCPACPABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD知识拓展】1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。

2.证明三点共线的方法是：（1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB ±BC =AC 时，A 、B 、C 三点共线。

（3）用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。

（4）当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。

（5）若B 在PQ 上，A 、C 在P 、Q 两侧，∠ABP =∠CBQ 时，A 、B 、C 三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是：（1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点.（3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。

（4）利用塞瓦定理的逆定理。

在证题过程中要根据题意灵活选用方法。

例1 如图20-3，已知BD =CE ，求证：AC ·EF =AB ·DF .图20-1图20-2图20-3BF解析 等积转化为等比，由比例式可看出直线BCF 截△ADE 的三边， 即可用梅氏定理加以证明.证明直线BF 交△ADE 三边所在直线于B 、C 、F .由梅氏定理得：1=⋅⋅ACECEF DF BD AB ∵CE BD = ∴AB ·DF =EF ·AC .例2（1995年河北省初中竞赛题）如图20-4，在正△ABC 的边BC 、CA 、AB 上分别有内分点D 、E 、F ，将边分成2：（n -2）（其中n >4），线段AD ，BE ，CF 相交所成的△PQR 的面积是△ABC 面积的17，则n 的值是（ ）A :5B :6C :7D :8图20-4B解析22BD CE AF DC EA FB n ===-，由梅氏定理有 1222=-⋅⋅=⋅⋅n n PD AP EA CE BC DB PD AP (2)(2),,4(2)4AP n n AP n n PD AD n n --∴=∴=-+ ∴()()()()()()ABC ABC ABD ABP S n n n S n n n n n S n n n n S ∆∆∆∆+--=⋅⋅+--=+--=42222422422同理2(2)(2)4BCQ CAR ABC n S S S n n ∆∆∆-==-+6(2)(2)4ABP BCQ CAR ABC n S S S S n n ∆∆∆∆-++=-+由已知6(2)6(2)47n n n -=-+，解得n =6.故选B .例3 如图20-5，△ABC 的∠A 的外角平分线与边BC 的延长线交于P ，∠B 的平分线交AC 于Q ，∠C 的平分线交AB 于R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.图20-5图20-6解析：∵ AP 为∠BAC 的外角平分线， AB BPAC PC∴=∴BQ 为角平分线，AB AQ BC QC ∴=同理得：BC BRAC RA=∵1=⋅⋅=⋅⋅AB BC AC AB BC AC QA CQ PC BP RB AR ∴P 、Q 、R 三点共线.例4 求证：三角形的三条角平分线交于一点已知：如图20-6，AD 、BE 、CF 分别为角平分线，求证：AD 、BE 、CF 交于一点解析：∵ AD 为∠BAC 的平分线，BD ABDC AC∴=同理得：,CE BC AF ACEA AB BF BC==1=⋅⋅=⋅⋅BCACAB BC AC AB FB AF EA CE DC BD ∴由塞瓦定理得AD 、BE 、CF 交于一点。

好题妙解】佳题新题品味例 如图20-7，已知G 是△ABC 的重心，M 、N 是GB 、CC 的中点延长AC 至E ，使CE =12AC ；又延长AB 至F ，使BF =12AB .求证：AG 、ME 、NF 三线共点。

图20-7解析:设AG 、BG 、CG 交BC 、CA 、AB 于X 、Y 、Z ，则GY =13BY =MG ，YC =12AC =CE ，从而GC //ME .又M 是BC 的中点，故ME 过BC 的中点X ，同理NF 也过BC 的中点X ,从而AG 、EM 、NF 三线共点.中考真题欣赏例 如图20-8，已知等边△ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使得AD =AE ，作等边△PCD ，等边△QAE 和等边△RAB .问R 、B 、P 三点是否共线，若共线判断△PQR 是什么三角形，若不共线，请说明理由。

图20-8CR解析：要判断R 、B 、P 三点是否共线，可判断∠RBC 与∠PBC 的和是否等于180°于是，我们以C 点为中心，将△CAD 逆时针旋转60°，这时A 点与B 点重合，D 点与P 点重合。

不难证明∠RBC +∠PBC =180°，故R 、B 、P 三点共线，△PQR 是等边三角形。

证明连结BP ，∵△ABC 和△DPC 都是等边三角形， ∴AC =BC ，DC =PC ，又∠ACD =60°-∠DCB =∠BCP ， ∴△CAD ≅△CBP∴∠PBC =∠BAC =60°. 又∠RBC =60°+60°=120° ∴∠RBC +∠PBC =180°. 故R 、B 、P 三点共线.易知∠RAQ =60°+60°+60°=180°，R 、A 、Q 三点共线. 而△CAD ≅△CBP ， ∴BP =AD =AE =AQ .∴RP =RQ ，且∠R =60°， 故△PQR 是等边三角形。

竞赛样题展示例1 如图20-9，已知AD 、BE 、CF 为△ABC 外接圆的切线，AD 、BE 、CF 分别交BC 、AC 、AB 于D 、E 、F ，求证：D 、E 、F 共线图20-9证明连接DE 、EF .∵AD 是圆的切线，∴∠DBA =∠DAC ，∠ADB =∠CDA ， ∴△DBA △DAC ，DC DA ACDA DB AB∴==22DC DC DA AC DB DA DB AB ∴==同理得：2222,EA BA FB BC EC BC FA AC ==1222222=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅AC BC BC BA AB AC FA BF DB CD EC AE FA FB EC EA DB DC ∴由梅氏定理的逆定理得：D 、E 、F 三点共线.例2（1994年“祖冲之杯”初中竞赛）如图20-10，已知54,23AD AC DB CE ==求BFFC的值 图20-10解析由43,37AC CE CE EA ==得 在△ABC 中，由梅氏定理得，1=⋅⋅EACEFC BF DB AD ， 即17325=⋅⋅FC BF 故1514=FC BF过关检测】A 级1.（1996年江苏省初中竞赛题）如图20-11，如果ABCD 是2×2正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于I ，BD 和AF 相交于H ，那么四边形BEIH 的面积是（ ）A 13B 25.C 715D .815图20-11E2.（1996年武汉市初中竞赛题）在△ABC 中，AD 是中线，E 在AB 上，且AE =13AB ，CE 与AD 交于F ，则DEFACFS S ∆∆的值是_______3.（“祖冲之杯”初中竞赛题）如图20-12，D 、F 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且AD :DB =CF :F A =2:3.求EFFD的值 图20-124.如图20-13，已知P 为△ABC 内任意一点，连AP 、BP 、CP ，并延长分别交对边于D .E 、F ，求证：1PD PE PFAD BE CF++= 图20-135.（1995年上海市初中竞赛题）已知P 是△ABC 内一点，AP 、BP 、CP 的延长线分别交BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，设AP =x ，BP =y ，CP =z ，DP =EP =FP =d ，若x +y +z =43，d =3.求x 、y 、z 这三个数的乘积。

B 级1.（塞瓦定理的逆定理）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边BC 、CA 、AB 内的一点满足1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD .求证：AD 、BE 、CF 三线共点。

2.证明：三角形三条高所在的直线共点.3.如图20-14，凸四边形ABCD 的对角线互相垂直，过AB 、AD 的中点K 、M 分别引对边CD 、CB 的垂线KP 、MT .证明：KP 、MT 、AC 三直线交于一点。

图20-144.（1998年全国初中数学竞赛题）如图20-15，已知P 为▱ABCD 内一点，O 为AC 与BD 的交点，M 、N 分别为PB 、PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证：（1）P 、Q 、O 三点在一条直线上； （2）PQ =2OQ .图20-15A。