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1.1.2 余弦定理(第一课时)ppt课件


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2
22 4
BC 7
2
7
用余弦定理,可解决两类问题:
A
b
c
C
a
B
①已知两边和它们的夹角, 求 第三边和其它两个角;
②已知三边,求三个角.
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思考:余弦定理的使用范围是什么?
若三角形ABC为直角三角形, 则余弦定理的表达式有怎样的变化? △ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
应用:已知两边和一个夹角,求第三边.
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由余弦定理变型得:
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c 2
1.1.2 余弦定理(1)
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知识回顾
A
正弦定理: a b c 2R
sin A sin B sin C
利用正弦定理,可以解决两类问题: B
C
①已知两角和任一边,求其它两边和一角.
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的 对角(进而可求出其它的角和边).
变型: a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
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新课讲解
研究:在三角形ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,
∵ BC AC AB
2
BC
(AC
AB) 2
2
2
2
BC AC AB 2AC AB
| AC |2 | AB |2 2 | AC | | AB | cosA
即: a 2 b2 c2 2bc cos A
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余弦定理
三角形任一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
2ab
应用:已知三条边求角度.
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问题:隧道工程设计,经常要测算山脚的长度,工程
技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山
脚B、C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即
线段BC的张角),最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的:AB=1千米,
AC=
3 2
千米
角A=60O
求山脚BC的长度.
解:BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
a : b : c sin A : sin B : sin C
2
问题:
隧道工程设计,经常要测算山脚的长度、C的距离,再利用经纬仪测出A对 山脚BC(即线段BC)的张角,最后通过计算求 出山脚的长度BC。
已知:AB、 AC、角A (两条边、一个夹角)
思考:若三角形ABC为锐(钝)角三角形时,
有类似的结论吗?
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是钝角三角形 a 2 b2 c 2
应用:判定三角形形状.
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例 1.
(1)在 ABC中,已知 b= 4 3 ,c= 2 3 ,A=1200 ,求 a.
(2)在 ABC中,已知 a= 2 6 ,b= 2 2 ,c= 6 2 ,
求 A、B、C 的值。
解:(1) a 2 = b 2 + c 2 -2 b c ·cos A=84
a 2 21
(2)解: cos A
b2
c2 a2 2bc
=
1 2
cos B
a2
c2 b2 2ac
=
2 2
A= 600 ,B= 450
则 C=1800 A B 750
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