余弦定理(公开课)PPT
例2.在△ABC中,已知a=
A 60 2 2 2 2 2 2 a c b ( 6 ) ( 3 1) 2 cos B 2ac 2 6 ( 3 1)
2 B 45 2 C 180 A B 180 60 45 75
C是锐角
(2)由( 1 )知:C是锐角, 根据大边对大角,C是ABC中的最大角 ABC是锐角三角形
变式训练:
在△ABC中,若a 2 为( )
b
2
2 ,则 △ABC的形状 c
A
A、钝角三角形
C、锐角三角形
B、直角三角形
D、不能确定
知识提炼:
推论: cos A b c a 2bc
3
C 180 A B 90
解决实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A,量 出A到山脚B、C的距离,分别是AC=5km,AB=8km ,再 利用经纬仪(测角仪)测出A对山脚BC 的张角, BAC 60 最 后通过计算求出山脚的长度BC。
2 2 2
坐标法
余 弦 定 理
角对边的平方等于两边平方的和减去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
b A
c
a
B
b2 c2 a2 推论:cos A 2bc
由向量减法的三角形法则得
2 c c c ( a b) ( a b) aa b b 2a b 2 2 a b 2 a b cos C
c a b
﹚
c a b 2ab cos C
2 2 2
a 2 b 2 2ab cos C
同理:
2
a b 2ab cos C
2 2 2
a b c 2bc cos C 2 2 2 b a c 2ac cos B
2 2
探 究: 在△ABC中,已知CB=a,CA=b,CB与CA (bcosC,bsinC) 的夹角为∠C, 求边c. y
c (b cos C a ) 2 (b sin C 0) 2
题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1.在ABC中,已知b 3, c 2 3 , A 30 ,
求角B、C和边a的值
解:由余弦定理知, a b c 2bc cos A
2 2 2
C a
B c
b
A
3 2 3 2 3 2 3cos30
2
2
a b a 3 由正弦定理 sin A sin B 得 1 3 b sin A 3 2 b c , B 60 sin B a 2 3
2 2 2
a b 2ab cos C
2 2
A b
bsinC
当ABC是直角三角形、钝角三角形呢?
c
C
2
bcosC
D
a
a-bcosC
B
2
c (b sin C ) (a b cos C )
2
b sin C a 2ab cos C b cos C
2 2 2 2 2
2 2
C
2
b A
2 2
a B
提炼:设a是最长的边,则
2
c
2
△ABC是钝角三角形 b c a 0
△ABC是锐角三角形 b c a 0 2 2 2 △ABC是直角三角形 b c a 0
2 2
思考
在解三角形的过程中,求某一个角有时
既可以用余弦定理,也可以用正弦定理,两种方法有 什么利弊呢?
B
8km
C
5km
解:BC 8 5 2 5 8 cos 60 49
2 2 2
A
BC 7
题型二、已知三角函数的三边解三角形
6 ,b=2,c= 3 1 , C b 解三角形(依次求解A、B、C). a 解:由余弦定理得 A B c 2 2 2 2 2 2 2 ( 3 1 ) ( 6 ) cos A b c a 1 2bc 2 2 2 ( 3 1)
2 2 2
C
b
A c
a
B
剖析余弦定理:
(1)本质:揭示的是三角形三条边与某一角的关系, 从 方程的角度看,已知三个量,可以求出第四个量; (2)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例; (3)主要解决两类三角形问题:已知三边求三角; 已知两边及它们的夹角,求第三边; (4)余弦定理的优美形式和简洁特征:给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出;三个式子的结构式完全一致的。
b 2 cos2 C 2ab cosC a 2 b 2 sin 2 C
﹚
(0,0)
(a,0) x
b 2 a 2 2ab cos C
则c a b 2ab cos C
2 2 2
同理:
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
余弦定理 在已知三边和一个角的情况下:求另一个角 正弦定理
㈠用余弦定理推论,解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理,计算相对简单,但解不唯一,要进行 判断舍取
小结:
余弦定理:
2 2 2 b c a 2 2 2 cos A a b c 2bc cos A 2bc 2 2 2 b a c 2ac cos B c2 a 2 b2 cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C 2ca a 2 b2 c2 cos C 余弦定理可以解决的有关三角形的问题: 2ab
一、实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A,量 出A到山脚B、C的距离,分别是AC=5km,AB=8km ,再 利用经纬仪(测角仪)测出A对山脚BC的张角, 最 BAC 60 后通过计算求出山脚的长度BC。
B
8km
变式训练:
60 在三角形ABC中,若a 3, b 1, c 2, 则A __________
题型三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 (1)试判断角C是什么角? (2)判断△ABC的形状
解: 由余弦定理得:
a 2 b 2 c 2 4 2 52 6 2 1 ( 1 ) cos C 0 2ab 2 45 8
C
5km
A
思考:你能求出上图中山脚的长度BC吗?
二、化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角,求第三边。 例:在△ABC中,已知BC=a,AC=b,∠BCA=C 求:c(即AB)
A
b
C a
c=?
B
三、证明问题 探 究: 在△ABC中,已知CB=a,CA=b,CB与CA 的夹角为∠C, 求边c.
设 CB a, CA b , AB c
﹚
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A
2 2 2
a 2 b 2 2ab cos C
探 究: 若△ABC为任意三角形,已知角C, BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设 CB a, CA b , AB c
推论:
1、已知两边及其夹角,求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角; 3、判断三角形的形状源自数学思想:化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业: P10 A组
3 、4
a 2 c2 b2 cos B 2ac
a2 b2 c2 cos C 2ab
余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b2 b 2a b 2 a b 2 a b cos C
﹚
c a b 2ab cos C 同理: 2 2 2 a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
探 究: 若△ABC为任意三角形,已知角C, BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设 CB a, CA b , AB c
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b b 2a b 2 2 a b 2 a b cos C