∴ cosA＝ AB AC = (8)(2)3(4) 2 ,∴ A≈84°.
AB AC
732 5
365
四、课堂练习：
1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( C )
A.直角三角形 B.
C.
D.等边三角形
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB ,∴b·b2c2a2aa2c2b2
解：∵ coAs b2 c2 a2 ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
∵coCs a2 b2 c2＝0.8071， 2ab
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
∴ C≈36°,
(∵sinC＝
c
sin a
A
≈0.5954,∴
C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在Δ ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个
∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角Байду номын сангаас三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
解法一：
B
8
7
∵ |AB| ＝ [6(2)2 ](58)2 73
6
5
A
|BC| ＝ (24)2(81)2 85
4 3
|AC| ＝ (64)2(51)225
2 1
C
-4
-2
2
4
6
8
coA s AB2AC2BC2
2AB AC
2 365
∴ A≈84°.
解法二：∵ AB ＝(–8，3)，AC ＝(–2，–4).
问题探 索
在Rt△ABC中(若C=90)有： c2a2b2
在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹 角还有什么关系呢？
定理推
对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和
导 夹此角的两边，求出此角的对边？
c [推导] 如图在ABC中，BC、CA、AB的长分别为a 、b 、 。
AC A B BC
c2a2b22acbo C s
coCs a2
b2 c2 2ab
2．余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
三、讲解范例
例1在Δ ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
4.在△ABC中，BC=3，AB=2，且sinC2( 61)，A=
。
120°
sinB 5
A
2.在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos22 ，试判断此三角形的类型.
解：∵sinB·sinC＝cos2
A 2
, ∴sinB·sinC1＝ cos A
2
∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］ 将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得 cosBcosC＋sinBsinC＝1, ∴cos（B－C）＝1
c2a2b22acbo Cs
二、讲解新课：
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即
a2b2c22bcco A s coAs b2
c2 a2 2bc
b2c2a22acco B s coBsc2 a2 b2
2ca
五、小
结
余弦定理及其应用
b2 c2 a2
a2b2c22bcco AscoAs 2bc
b2c2a22acco B s coBsc2 a2 b2
2ca
c2a2b22acbo C s coCsa2 b2 c2
又0＜B，C＜π ，∴－π ＜B－C＜π ∴B－C＝0 ∴B＝C
故此三角形是等腰三角形.
3.在 AB中 C,BC 1,B,
3 当 AB的 C 面积 3时 为 ,tan C___.__
解 :S A B 1 2 A CB B sC iB n 1 2 A 1 B 2 3 3 A 4 B .C
1.1.2余弦定理课件
一、复习引入
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a
sin A
=
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
2bc
2ac
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2 ,∴a2＝b2 ,∴a＝b， 故此三角形是等腰三角形.
解法二：利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA＝acosB 又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA ，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB
∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0
C
AC A C (A B B) C (A B B)C
b
a
2
2
AB 2AB B C BC
A2 B 2 |A| B |B|c C 1 o A 8 s B () 0 c B2C B
c22 acco B s a2
即 b2c2a22acco Bs
同理可证 a2b2c22bcco As
AC 2AB 2BC 22AB BC CO B S
16 1241113AC 1.3
A
2
Ac2BC2AB2 13116 13
co sC


B
2AC BC 2 131 13
sinC
1
11332
2 26 13
tanCsinB23. cosB
三角形.
解：由 c2a2b22acbo C，s得 c≈4.297.
∵ coAs b2 c2 a2 ≈0.7767， ∴ A≈39°2′, 2bc
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.
a sin C
(∵sinA＝
≈0.6299∴ A=39°或141°(舍).)
，
c
例 3 Δ ABC三个顶点坐标为A(6，5)、B(－2，8)、C(4，1)，求角A.