黄浦区2013年九年级学业考试模拟考数学试卷（时间100分钟，满分150分） 2013.4.11一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、一件衬衫原价是90元，现在打八折出售，那么这件衬衫现在的售价是（ ）A. 82元B. 80元C.72元D.18元2）B.C.D. 3、方程2230x x -+=的实数根的个数是（）A.3B. 2C. 1D. 04、如图，一次函数y kx b =+的图像经过点()2,0与()0,3，则关于x 的不等式0kx b +>的解集是（）A.2x <B. 2x >C. 3x <D. 3x >5、我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中真命题是（ ）A.有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形B.有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形C.有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形D.有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形6、如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 边BC 、CD 的中点，AE 、AF 交BD 于点G 、H ，若AGH △的面积为1，则五边形CEGHF 的面积是（ ）A.1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）DHGFE CBA(第 6 题)(第 4 题)7、计算63 a a ÷=8、分解因式：321 x x x +++=9、下列数据是七年级（3）班第2小队10位同学上学期参加志愿者活动的次数：7,6,7,8,5,4,10,7,8,6，那么这组数据的众数是 .10=的解是 . 11、如果反比例函数2k y x-=的图像位于第二、四象限，那么k 的取值范围是 .12、一次函数26y x =-的图像与x 轴的交点坐标是 .13、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的字母x 使所得二次根式有意义的概率是 .14、下表是六年级学生小林的学期成绩单，由于不小心蘸上了墨水，他的数学平时成绩看不到，小林去问了数学课代表，课代表说他也不知道小林的平时成绩，但他说：“我知道老师核算学期总成绩的方法，就是期中成绩与平时成绩各占30%，而期末成绩占40%”小林核算了语文成绩：8030%8040%7030%77⨯+⨯+⨯=，完全正确，他再核对了英语成绩，同样如课代表所说，那么按上述方法核算的话，小林数学平时成绩是 分.15、八边形的内角和为 度16、如图，已知等边ABC △的边长为1，设n AB BC=+ ，那么向量n 的模 n =17、如图，平面直角坐标系中正方形ABCD ，已知()1,0A ()0,3B ，则sin C O A ∠=(第 18 题)(第 17 题)(第 16 题)C18、如图，圆心O 恰好为正方形ABCD 的中心，已知4AB =，O 的直径为1，现将O 沿某一方向平移，当它与正方形ABCD 的某条边相切时停止平移，记平移的距离为d ，则d 的取值范围是 .三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）计算：))210212013tan 601-+--20.（本题满分10分）解方程组：222220560x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩21、（本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分）如图，MN 是O 的直径，点A 是弧 MN的中点，O 的弦AB 交直径MN 于点C ，且2ACO CAO ∠=∠（1）求CAO ∠的度数；（2）若OAB 的长22、如图，线段AB ，CD 分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量1y （升）、2y （升）关于行驶时间x （小时）的函数图像。

（1）分别求1y 、2y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）如果两车同时从相距300千米的甲、乙两地出发，相向而行，匀速行驶，已知轿车的行驶速度比客车的行驶速度快30千米/小时，且当两车在途中相遇时，它们油箱中所剩余的油量恰好相等，求两车的行驶速度NCBM OA( 第22题图 )x （小时）23、（本题满分12分，第（1）、（2）小题满分各6分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，对角线AC 与BD 交于点O ，O E BC ⊥，垂足是E .（1）求证：E 是BC 的中点；（2）若在线段BO 上存在点P ，使得四边形AO EP 为平行四边形.求证：四边形ABED 是平行四边形。

24、（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分） 已知二次函数2y x bx c =-++的图像经过点()0,1P 与()2,3Q -. （1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形①求正方形的ABCD 的面积；②联结PA 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：∽PAD PEA ∆∆25、（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 如图，在梯形ABCD 中，10AD BC ==，4tan 3D =，E 是腰AD 上一点，且:1:3AE ED =. （1）当:1:3AB CD =时，求梯形ABCD 的面积； （2）当ABE BCE ∠=∠时，求线段BE 的长； （3）当BCE △是直角三角形时，求边AB 的长.CDEOBAA DCEB黄浦区2013年初三学业模拟考数学试题参考答案与评分标准一、选择题1．C 2．C 3．D 4．A 5．D 6．B 二、填空题7．3a 8．()()211x x++ 9．7 10．1x =11．2k < 12．()3,0 13．35 14．8015．1080 16．1 17．45 18．322d ≤≤ 三、解答题 19．解：原式=)3131+-----------------------------------------------------------（8分）----------------------------------------------------------------------------------（2分）20．解：由（2）得：()()230x y x y --=，则2x y =或3x y =，---------------------------------------------------------------------（2分） 将2x y =代入（1），得22420y y +=，则2y =±，4x =±.-------------------------------------------------------------------------（3分） 将3x y =代入（1），得22920y y +=，则y =x =±-----------------------------------------------------------------（3分）所以方程组的解是1142x y =⎧⎨=⎩，2242x y =-⎧⎨=-⎩，33x y ⎧=⎪⎨⎪⎩，44x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩--------（2分）21．解:（1）点A 是弧MN 的中点，所以∠AOM =∠AON =1180902⨯︒=︒，--------------------------------------------------（2分） 在△AOC 中，∠AOC +∠ACO +∠CAO =180︒，---------------------------------------（2分）又∠ACO =2∠CAO . 所以∠CAO =()118090303︒-︒=︒.-------------------------------------------------------（1分） （2）作OH ⊥AB ，垂足为H ，由垂径定理得AB =2AH ，----------------------------（2分）在Rt △AOH 中，OA∠CAO =30︒,∠AHO =90︒,则AH =322OA =,------------------------------------------------------------------------（2分） 所以AB =3. ------------------------------------------------------------------------------------（1分）22．解：（1）设1160y k x =+，2290y k x =+.---------------------------------------------------（1分）由题意得 10460k =+，20390k =+.-----------------------------------------------（1分）解得 115k =-，230k =-.----------------------------------------------------------------（1分）得 11560y x =-+，定义域为04x ≤≤.-----------------------------------------------（1分）23090y x =-+，定义域为03x ≤≤.-----------------------------------------------（1分） （2）当12y y =时，15603090x x -+=-+，解得 2x =（小时）. -----------------------------------------------------------------------（1分）设轿车的速度为v 千米/小时，------------------------------------------------------------（1分） 则()230300v v +-=--------------------------------------------------------------------（1分）解得 v =90. -------------------------------------------------------------------------------------（1分） 答：轿车速度为90千米/小时，客车速度为60千米/小时. ------------------------（1分）23．证：（1）∵在梯形ABCD 中，AD ‖BC ，AB=CD ， ∴AC=BD ，又BC=CB ，∴△ABC ≌△DCB ，--------------------------------------------------------------------（3分） ∴∠ACB =∠DBC ， ∵OE ⊥BC ，E 是垂足.∴E 是BC 的中点. ---------------------------------------------------------------------（3分） （2）∵四边形AOEP 为平行四边形，∴AO ‖EP , AO =EP ，-------------------------------------------------------------------（1分） ∵E 是BC 的中点.∴12PE OC =.--------------------------------------------------------------------------（2分） ∵AD ‖BC ， ∴12AD AO PE BC OC OC ===.-------------------------------------------------------------（2分） ∴AD=BE ，又AD ‖BE ，∴四边形ABED 是平行四边形. -------------------------------------------------------（1分）24．解：（1）由题意知1342cb c =⎧⎨-=-++⎩，------------------------------------------------------（2分）解得01b c =⎧⎨=⎩，----------------------------------------------------------------------------（1分）所以二次函数解析式是21y x =-+.-----------------------------------------------（1分） （2）①设()2,1Aa a-+，则()2,1B a a --+.-------------------------------------------（1分）由四边形ABCD 为正方形. 得221a a =-+，---------------------------------------------------------------------（1分）解得1a =-，---------------------------------------------------------（1分）所以正方形ABCD 的面积为()2212Sa ==- -------------------------（1分）②设AB 交y 轴于点H .则11DO a PO ==,121PH aAH a -==， 所以DO PHPO AH=，∠DOP =∠AHP . 所以△DOP ∽△AHP ，----------------------------------------------------------------（2分） 则∠DPO =∠HAP ，又∠DPO =∠PDA ， 所以∠PDA =∠HAP ，又∠DPA =∠APE ，所以△PAD ∽△PEA .------------------------- -----------------------------------------（2分）25．解：（1）作AH ⊥CD ，垂足为H ，---------------------------------------------------------------（1分）在Rt △ADH 中，AD =10，4tan 3D ∠=， 设AH =4k ，DH =3k ， 则()()2224310k k +=，解得 k =2，所以 AH =4k =8，DH =3k =6，---------------------------------------------------------（1分） 由等腰梯形ABCD 知，CD=AB +12，又AB ∶CD=1∶3，得 AB =6，CD =18，--------------------------------------------------------------------（1分） 所以梯形ABCD 的面积为()1962SAB CD AH =+⋅=.----------------------（1分） （2）延长BE 、CD 交于点P ，∵AE ∶ED=1∶3，AB ‖CD .∴BE ∶EP=1∶3,令BE=x ,则BP=4x . ---------------------------------------------（1分） ∵AB ‖CD ，∴∠ABE=∠P ，又 ∠ABE =∠BCE ，∴∠BCE=∠P ，又 ∠CBE =∠PBC ，∴△BCE ∽△BPC ，--------------------------------------------------------------------（2分）∴BC BP BE BC=，即2410x x ⋅=，----------------------------------------------------（1分） 解得 x =5，即BE =5. ------------------------------------------------------------------（1分） （3）设AB=a ,则DP=3a ,则CP=12+4a .当∠CBE=90︒时，在Rt △BCP 中，BC =10，tan ∠BCP =tan ∠ADC=34， 所以BP =4401033⨯=, CP503=,即503=12+4a ，解得 76a =.----------------------------------------------------------（2分）当∠CEB=90︒时，过E 作底边CD 的垂线，在底边AB 、CD 上的垂足分别为M 、N ， 易知△BME ∽△CNE ，又△AME ∽△DNE ∽△AHD ，∴ME =2， MA =32, EN =6，DN =92. 由BM EN ME NC =，即3621522a a +=+， 解得92a =-.--------------------------------------------------------（3分）又∠BCE <∠BCD <90︒.所以当△BCE 是直角三角形时，AB=76或92-。