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第三节：y=a(x-h)2+k的图像与性质
一、知识形成：
在坐标系中画出下列函数草图。并判断开口、对称轴、顶点、增减性与最值
（1） y=﹣（x﹣5）2+3， (2) y＝－21(x＋
1)2－1 （3）y=(x+2)2-3 (4)y=3(x-1)2+2
【观察图像思考归纳】：对于
y=a(x-h)2+k
（1）开口方向 （2）对称轴
（3）顶点 （4）增减性
（5）最值
二、例题与练习
例题1、如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，该图在
y轴右侧与x轴交点的坐标是 _________ ．
例题2求二次函数的解析式.
2
例题3：y＝a(x－1)2＋4与x轴交于A、B, 与y轴正半轴交于C点, D为顶点, 对称轴交x轴
于E点, DE＝AB, 求解析式.
【练习】一、解析式的求法（顶点式）
1、y＝－94(x－2)2＋m, 顶点为M, MH⊥x轴于H, sin∠MOH＝552, 求解析式.
2、 已知: 如图1, 二次函数y＝a (x－1)2－4的图象交x轴负半轴于
点A, 交x轴正半轴于点B, 交y轴负半轴于点C, 且OB＝3OA.
(1) 求二次函数的解析式;
3、如图（1），在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线
y=2(1)(0)axca与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，
与y轴交于点C（0，-3），其顶点为M,且cos∠BCO＝31010.
(1)求此抛物线的函数表达式；
4、已知: 二次函数y＝a (x+6)2－3的图象交x轴负半轴于点A,B两点，直线DE⊥x轴于点
E, 交Y轴于点C,D为顶点。 且AE2= 3DE. (1) 求二次函数的解析式;
5、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2429y(x)c 与
x
轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其
顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH＝552．
（1）求此抛物线的函数表达式；
图（1）
y
x
A
O B
M
C
3
6、已知：抛物线2(2)1yax,与y轴相交于点C,与轴相交于A,B(3,0)两点，且S△ABC=3
（如图所示）
(1) 求此抛物线的函数表达式；
7、函数y=a(x－1)2－4的顶点为D, 与x轴交于A、B两点, 与y轴负半轴交于C点, 对称轴
与x轴交于H点, 且HD=AB.
(1) 求抛物线的解析式;
二、能力提高
1、抛物线y=(x－1)2+n与x轴交于A、B两点, 与y轴负半轴交于C（0，-3）。
(1) 求抛物线的解析式;
（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落
在对称轴上，求P点的坐标。
答案P(2,-3)
2、抛物线y=ax2+4与x轴交于A、B两点, 与y轴正半轴交于C，AB=4.
(1) 求抛物线的解析式;
(2)以AC为直角边作等腰直角△ACD，AD交抛物线于点P,求P点的坐标。
Y
X
O
C
B
A
y
x
D
P
O
C
BA
M
y
x
P
O
C
B
A
4
3. 如图, 抛物线y=a(x－2)2+1与x轴交于A、B两点, 与y轴负半轴交于点C, 抛物线的对称
轴交抛物线于点D, 交x轴于点E, 若AB=2DE.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 沿抛物线的对称轴向下平移抛物线, 平移后的抛物线交线段BC于F、G两点,
若FG=21BC, 求平移后抛物线的解析式;
(3) 如图, 点P是第四象限的对称轴右侧抛物线上的一个动点, PN⊥BC于点N(N在线段
BC上), 在P点的运动过程中, 是否存在这样的点P, 使得△CPN和△OAC相似? 若
存在, 求P点坐标; 若不存在, 请说明理由.
4. 如图, 二次函数y=a(x－1)2－4的顶点为D, 与x轴交于A、B两点, 与y轴负半轴交于C
点, 对称轴与x轴交于H点, 且HD=AB.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 若M为对称轴右侧抛物线上一点, MN∥x轴交抛物线于另一点N, 以MN为斜边的直
角三角形的直角顶点在x轴上, 当这个直角顶点至少有一个时, 求M点纵坐标yM的
取值范围;
(3) 经过C、D两点的直线与x轴交于E点. P为对称轴右侧抛物线上一点, CP交对称轴
于点F, 是否存在这样的一点P, 使△CDF与△EAC相似? 若存在, 求P点坐标; 若
不存在, 请说明理由.
5. 如图, 已知抛物线y=a(x－2)2－1与x轴交于A、B两点, 与y轴正半轴交于点C, D为抛
物线的顶点, 且S△ABD=1.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 点P在抛物线的对称轴上, 且∠APD=∠ACB, 求点P的坐标;
(3) M为抛物线上一点, 过M作MN⊥x轴于点N, 是否存在这样的点M, 使得以A、M、
N为顶点的三角形与△AOC相似? 若存在, 求出所有符合条件的M点坐标; 若不存在,
请说明理由.