高中数学常见题型解法归纳 数列应用题的解法
【知识要点】
一、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等比数列的，要转化成等差等比数列的问题来解决.
二、与增长量和降低量有关的问题一般是等差数列，与增长率和降低率有关的问题一般是等比数列. 三、单利问题：设本金为p ，期利率为r ，则n 期后本利和)1(nr p S n +=，对应的是等差数列；
复利问题：设本金为p ，期利率为r ，则n 期后本利和n n r p S )1(+=，对应的是等比数列. 四、数列的问题注意弄清数列的项数、首项、公差和公比等. 【方法讲评】
【例1】某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：
而一旦植完，则不会被沙化.
问：（1）每年沙化的亩数为多少？（2）到那一年可绿化完全部荒沙地？
（2） 设2005年及其以后各年的造林亩数分别为1a 、2a 、3a 、…，则
1800(1)4004001400n a n n =+-⨯=+
【点评】（1）利用等差数列的性质解答，首先要判断和证明数列是等差数列；（2）利用等差数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公差和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题. 【反馈检测1】杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.
请你根据以上数据，解决下列问题：（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.
【例2】商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．
（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；
（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.73430.2391,lg1.050.0212==，8
1.05＝1.4774）
【解析】 依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．
（1）设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（元）
＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．
依题意有 +++++2%)51(%)51(1[62…11%)51(500]%)51(+-+≥++n n ． 化简得105.125)105.1(62+⨯≥-n n ． ∴ 7343.105.1≥n ． 两边取对数整理得28.110212
.02391
.005.1lg 7343.1lg ==≥
n ．∴ 取n ＝12（年）
． ∴ 到2014年底可全部还清贷款．
【点评】（1）银行的单利问题和复利问题，要理解清楚.单利是一个等差数列问题，复利是一个等比数列问题.（2）利用等比数列的性质解答，首先要判断和证明数列是等比数列；（3）利用等比数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公比和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题. 【反馈检测2】为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：
汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款
15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元?
(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?
(参考数据：1.004455144
＝1.8966，1.005025144
＝2.0581，1.005025180
＝2.4651)
【例3】2008年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从2009年开始,计划每年将非绿化面积的8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.
⑴设该县的总面积为1,2008年底绿化面积为10
4
1=
a ,经过n 年后绿化的面积为1+n a ,试用n a 表示1+n a ；
⑵求数列{}n a 的第1+n 项1+n a ；
⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:4771.03lg ,3010.02lg ==)
⑵)5
4
(10954,25210911-=-+=
++n n n n a a a a . 数列⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
-54n a 是公比为109,首项5254104541
-=-=-a 的等比数列. ∴n n a )10
9
)(52(541-+=+. ⑶,2
1
)109(,53)109)(52(54%,601
<>-+>+n n n a
【点评】（1）构造数列关键是从已知条件入手找到数列的递推关系；（2）构造数列的首项和末项要弄清.
【反馈检测3】某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．
（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？
（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第42讲：
数列应用题的解法参考答案
【反馈检测1答案】（1）3年后开始盈利；（2）采用方案一合算.
【反馈检测2答案】（1）汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元；（2）当月共还款43880.12元．
【反馈检测2详细解析】设月利率为x ，每月还款数为a 元，总贷款数为A 元，还款期限为n 月 第1月末欠款数：(1)A x a +-
第2月末欠款数：2[A(1x)a](1x)a A(1x)(1)a x a +-+-=+-+-
第3月末欠款数：2
3
2
[(1)(1)](1)(1)(1x)(1)A x a x a x a A x a a x a +-+-+-=+-+-+-
……
第n 月末欠款数 0)1()1()1()1(21=-+--+-+-+--a r a r a r a r A n n n 得：1
)1()1(-+⨯+=n n r r
r A a
对于12年期的10万元贷款，144,n r ==4.455‰∴37.9421
004455.1004455
.0004455.1100000144144=-⨯⨯=a
对于15年期的15万元贷款，180n =，r ＝5.025‰ ∴22.12681
005025.1005025
.0005025.1150000180
180=-⨯
⨯=a 由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元． (2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款
a r a r a r a r A X -+--+-+-+=)1()1()1()1(142143144 其中A ＝150000，a ＝1268.22，r ＝5.025‰ ∴X ＝41669.53
再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元． 【反馈检测3答案】（1）对于任意N n ∈，均有5
4
<n a ．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%；（2）2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．
由题可知：0330%10
a ==
， ()()25
4541%16%411+=
-+-=+n n n n a a a a 所以，当1n ≥时，25
4
541+=
-n n a a ，两式作差得： ()115
4
-+-=
-n n n n a a a a 又10000444115
2525510a a a a a ⎛⎫-=+-=
-= ⎪⎝⎭， 所以，数列{}1n n a a --是以10110a a -=为首项，以5
4
为公比的等比数列． 所以，()()()112100n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+ 14(1())
3414105()41052515
n
n
-=+=-⋅-由上式可知：对于任意N n ∈，均有5
4
<
n a ．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%． （Ⅱ）令53>n a ，得42
()55
n <，
由指数函数的性质可知：()4()5
n
g n =随n 的增大而单调递减，因此，我们只需从0n =开始验证，直到找
到第一个使得42
()55
n <的自然数n 即为所求．
验证可知：当0,1,2,3,4n =时，均有42()55n >，而当5n =时，42
()0.3276855
n =<，
由指数函数的单调性可知：当5n ≥时，均有42
()55
n <．
所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．。