经典力学与量子力学的比较 经典力学
量子力学
研究对象
宏观物体，在一 具有波粒二象性 定条件下可看成 的微观粒子 质点
运动状态描写 坐标（x,y,z） 动量（p）
波函数ψ(x,y,z,t) |ψ(x,y,z,t)|2代表 时刻t在空间某 处的几率。
运动方程即状态 随时间变化规律
牛顿方程
薛定谔方程
三、一维无限深势阱
图3.2.1 无限深势阱
(3.2.3)
(3.2.4)
式中，A，δ为待定常数，为确定A与δ之值，利用ψ的边界条 件及归一化条件。从物理上考虑，粒子不能透过势阱，要求在 阱壁及阱外波函数为零，即
即
上式舍去了n=0和n为负值的情况
(3.2.5)
这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。 又由归一化条件
二、定态薛定谔方程
在势能V不显含时间的问题中，薛定谔方程可以用一种 分离变数的方法求其特解，令特解表为
代入下式，并把坐标函数和时间函数分列于等号两边：
令这常数为E，有
（10）
于是波函数ψ(r,t)可 以写成
与自由粒子的波函数比较，可知上式中的常数E就是能量， 具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态.在定态中几 率密度｜ψ(r,t)｜2=｜ψ(r)｜2与时间无关。另一方面， (10) 式右边也等于E，故有
把(1)对t取一阶偏微商 如果自由粒子的速度较光速 小得多，它的能量公式是 p2/2m=E，两边乘以ψ，即得
（2） （3）
（4） （5）
把(3)和(4)代入(5)
得到一个自由粒子的薛定谔方程。 对于一个处在力场中的非 自由粒子，它的总能量等于 动能加势能
两边乘以ψ
自由粒子的薛定 谔方程可以按此式 推广成
[ 2 2 V ] ( r ) E ( r )
2m
这是波函数中与坐标有关的部分ψ(r)所满足的方程，此方程 称作定态薛定谔方程
定态波函数的特点：
1、能量不随世间变化； 2、粒子的概率不随时间变化。
态叠加原理
C1 1 C2 2 …+ C n n Cn n
一个粒子在两个无限高势垒之间的运动，实际上与一个粒子在 无限深势阱中的运动属于同一类问题。设势阱位于x=0及x=a处。 势阱之间(图3.2.1中Ⅰ区)，V=0，势阱本身(图3.2.1中Ⅱ，Ⅲ区)， V=∞，求粒子在势阱间的运动情况。
薛定谔方程为
(3.2.1)
在Ⅱ，Ⅲ区，只能有ψ=0.因为从物理上 考虑，粒子不能存在于势能为无限大的 地区，在Ⅰ区，方程简化为
是实际情况的 极端化和简化
U(x)
U(x) 0
方势阱
金属中的电子
分子束缚 在箱子内 三维方势肼
四、势垒贯穿
设如图3.3.1，在x=0到x=a之间有一个有限高的一维势垒
V=V0.在x<0区域有一个粒子，其动 能E<V0，从左向右射向势垒，求粒 子的概率分布。
在图中，将空间分为三个区域.粒 子 从 Ⅰ 区 射 向 Ⅱ 区 ， 在 x=0 处 遭 遇 势垒。按经典力学，粒子的能量不 够，不能越过势垒，将被反射而折 回。但在微观世界则不然，粒子的 德布罗意波将部分地穿过势垒。解 题如下。
（6） （7） （8）
（9）
这就是量子力学中的薛定谔方程，相当于经典力学中的 牛顿运动定律，是不能从什么更基本的原理中推出来的。 它的正确与否，只能由科学实验来检验。实际上，薛定谔 方程是量子力学的一个基本原理。
薛定谔 Erwin Schrodinger
奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖
粒子的薛定谔方程为
图3.3.1 有限高势垒
3.3.1 3.3.2
在Ⅱ区，有
其通解为 Ⅲ区的方程同Ⅰ区，但这里无反射波，故
粒子在势阱中的运动，是一种较为常见的现象；金属中 的自由电子在各晶格结点(正离子)形成的“周期场”中运 动，它们不会自发地逃出金属，简化这个模型，可以粗略 地认为粒子被无限高的势能壁束缚在金属之中。
氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动，不过“阱 壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近来，人们设计制作 了一种具有“量子阱”的半导体器件，它具有介观(介于 宏观与微观)尺寸的势阱，阱宽约在10nm上下。这种材料 具有若干特性，已用于制造半导体激光器、光电检测器、 双稳态器件等。
(3.2.6)
由上面的计算，可以看到量子力学解题的一些特点。在解定 态薛定谔方程的过程中，根据边界条件自然地得出了能量量 子化的特性(3.2.5)，En是体系的能量本征值，相应的波函数 ψ n是能量本征函数。在一维无限高势垒间粒子运动的特点如 下：
(1)能量是量子化的，最低能量E1≠0，这与经典力学大不 相同，这是粒子波动性的反映，因为“静止的波”是不 存在的。能级的能量依n2规律加大，相邻能级间距越来 越大.
n
对薛定谔方程的讨论：
1、薛定谔方程描述了微观粒子在的运动状态ψ(x,y,z,t)在势 场V中随时间变化的规律。它把ψ(x,y,z,t)随时间的变化与随 空间的变化结合起来了。 2、薛定谔方程是量子力学的基本方程，它和牛顿方程一样 不能从更基本的假设中推导出来。 3、如果给出具体的势场V，再知道粒子的初始状态，原则 上可以通过薛定谔方程求出任意时刻的状态。 4、波函数 ψ(x,y,z,t)一般是复数形式， |ψ(x,y,z,t)|2是表示粒 子在时刻t、在空间某处出现的几率。 5、是非相对论的。
(2)含时间的波函数是

~
sinnxFra biblioteke
i
E
t，这是一个驻波,指
a
数部分表示振动，振幅为 sin n x (如图3.2.2(b))，在形式
a
上像一个两端固定的弦的驻波振动。这又一次指出，在有
限空间内，物质波只能以驻波形式稳定地存在着。
(3)粒子在势垒中的概率分布｜ψ｜2是不均匀的，而且 有若干概率为零的点(节点)(见图3.2.2(c)).
3.4 薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立
二、定态薛定谔方程
三、一维无限深势阱
四、势垒贯穿
小结
一、薛定谔方程的建立
为建立微观粒子的运动方程，让我们先考虑一个特殊 情况，看一看自由粒子波函数满足什么样的微分方程。
自由粒子的波函数为：
（1）
对（1）x,y,z取二阶偏微商得到
等式两边相加，即有
拉普拉斯算符