n ∴=综上两方面 ,即证.1. 已知lim n n x a →∞=, 用N ε-语言, 证明: n =.证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时,2n x ε<;ε<,此即0n ==.(2) 当0a ≠时,因为2222233044+=+≥>.令234M =, lim nn xa →∞=Q , 则对0ε∀>,存在0N >, 当n N >时,有n x a M ε-<.22n x a-=1n x a M M Mεε-≤<⋅=n ∴=2. (算术平均收敛公式)设lim n n x a →∞=.令12nn x x x nξ+++=L , 求证:lim n n a ξ→∞=.证法1 由施笃兹公式12lim lim nn n n x x x nξ→∞→∞+++=L()()()12121lim1n n n x x x x x x n n -→∞+++-+++=--LLlim n n x a →∞==.证法 2 由lim n n x a →∞= , 则0ε∀>, 存在10N >, 使当1n N >时, 有2n x a ε-<. ①()1112111n N N n x x x a x a x a x a x a n n++++-≤-++-+-++-L L L令111N c x a x a =-++-L , 那么1212n x x x n N c a n n n ε+++--≤+⋅L .②存在20N >, 使当2n N >时, 有2c n ε<. 再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有1212222n x x x n N a n n εεεεε+++--<+⋅<+=L .12lim limnn n n x x x a nξ→∞→∞++∴==L .3. (几何平均收敛公式)设()01,2,n x n >=L . 且lim n n x a →∞=. 证明:n a =. 证 lim n n x a →∞=Q , limln ln n n x a →∞∴=.再由算术平均收敛公式可知()121ln ln ln ln lim n x x x a nn n ee a ++→∞∴===L .4. 证明: 1n =, 其中1a >.证 令11n a α-= ,则0α>, 依伯努利不等式, 有()()11111n na n n a αα=+≥+=+-,即111n a a n--≤.111n a ε=-≤,只要1a n ε-<.所以,有1a n ε->.取1a N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时, 就有1a nε-<, 1ε<. 5. 证明: 若lim n n a a →∞=, 则lim n n a a →∞=. 当且仅当a 为何值时逆命题也成立.证 由题设 lim n n a a →∞=, 知0ε∀>,0N ∃>, 当n N >时, 皆有n a a ε-<.从而当n N >时总有n n a a a a ε-≤-<,所以lim n n a a →∞=.当且仅当0a =时,逆命题也成立.6. 设a R ∈, 且1a >,用N ε-语言, 证明: lim0nn na →∞=. 证 当2n ≥时, 有()()()()()2221121111n n n n n a n n a n a a =<=----+-⎡⎤⎣⎦(由二项展开式得) 要使()()2211n a ε<-- ,只需()2211n a ε>+-.即若取 ()2221N a ε⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 则当n N >时, 就有()()2211n n a n n a ε<<--, 所以lim0nn n a →∞=. 数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,1a >,a R ∈是无穷小序列. 7. 利用单调有界性证明: 设10x a =≥, 10y b =≥,且1n x +=,()112n n n y x y +=+.1,2,n =L . 则lim lim n n n n x y →∞→∞=. 证 0n x ≥, 0n y ≥是显然的.由112n nn n x y y x +++=≥= , 得1n n x x +== ,122n n n nn n x y y y y y +++=≤= . 知{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少 , 又1n n x y y ≤≤, 1n n y x x ≥≥,所以{}n x ,{}n y 有界. 即lim n n x A →∞=,lim n n y B →∞=存在.对12n nn x y y ++=两边取极限,得 ()12B A B A B =+⇒=.8. 证明: 数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加 , 数列111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调减少 ,两者收敛于同一极限.证 记11n n x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,111n n y n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由平均值不等式()121n a a a n+++L , 知 ()111111111n nn n n n x x n n ++++⎡⎤⎛⎫=+⋅≤=⎢⎥⎪+⎝⎭⎣⎦,()()21111111112n n n n n n n n y n n y ++++⋅++⎡⎤⎛⎫=⋅≤=⎢⎥⎪++⎝⎭⎣⎦, 即{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少, 且1114n n x x y y =<<<= .所以{}n x ,{}n y 单调有界,必定收敛.由11n n y x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭,知它们有相同的极限.即 111lim 1lim 1nn n n e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9. 证明: 若111ln 2a n n=+++-L . 则数列{}n a 收敛.证 由上例知 11111n n e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 两边取对数得 ,()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即有不等式111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ . 则()11ln 1ln 1n n a a n n n +-=-+++11ln 101n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭,111ln 2n a n n=+++-L231ln+ln ln ln 12n n n+>++-L()ln 1ln 0n n =+->即{}n a 单调减少有下界 , 所以{}n a 收敛.10. 设数列{}n x 满足: 01x =, 1n x +=1,2,3n =L .证明: 数列{}n x 收敛, 并求lim n n x →∞.证 01x =,1212x ==,3422x ==.用数学归纳法可证()21112222,0,1,2n nnn x n --===L L①11212122n n n n ----<Q .由①式知()10,1n n x x n -<=L L 即{}n x 单调递增.再由①式知12n x ≤<, {}n x ∴收敛.设lim n n x a →∞=, 则1a ≥.1n x +=Q 两边取极限有: a =22a a ∴= , 又0a ≠Q .2a ∴=, 即lim 2n n x →∞=.11. 设0a >, 10x a <<, 12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1,2,3n =L .证明: 数列{}n x 收敛, 并求其极限.证 先用数学归纳法证明0n x a <<,n N ∈①当1n =时, 结论成立, 归纳假设结论对n 成立, 再证1n +时, 因为()2112n n n n x x x x a a a a +⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭,10n x a +∴<<. 即①式成立.1221n n n x x ax a a+=->-=.{}n x ∴单调递增, 且有上界. lim n n x →∞∴存在. 设为lim n n x b →∞=. 由12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,两边取极限得 2b b b a ⎛⎫=-⎪⎝⎭②由①式及{}n x 单调递增, 显然0b ≠, 由②式解得b a =.lim n n x a →∞∴=.。