第5讲 圆周运动中常见的模型及应用
第一部分
知识点一 常见模型之一 1．火车转弯
如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供
r v m
mg 2
tan =ααtan gr v =⇒,v 增加，外轨挤压，如果v 减小，内轨挤压
2．圆锥摆
αωαsin tan 2l m mg =
3．圆锥问题
θωωθωθθtan tan cos sin 22r g
r
g
r m N mg
N =
⇒=
⇒==
典型例题：
例1 列车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。
若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是： （ ） ①当以速度v 通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
②当以速度v 通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘侧弹向力的合力提供向心力 ③当速度大于v 时，轮缘侧向挤压外轨 ④当速度小于v 时，轮缘侧向挤压外轨
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
例2 用细线吊着一个小球，使小球在水平面内做半径为R 匀速圆周运动；圆周运动的水平面距离悬点h ，距离水平地面H ．若细线突然在A 处断裂，求小球在地面上的落点P 与A 的水平距离．
例3 小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系。
针对性练习：
1．在高速公路的拐弯处，路面要造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧要高一
N
mg
N
mg
些，路面与水平面的夹角为θ，设拐弯路段为半径为R 的圆弧，要使车速为V 时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，θ应等于………… （ ）
A. B. C. D.
2．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是 ( ) A ．V A > V B B ． ωA > ωB C ．a A > a B D ．压力N A > N B
3．如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员
做匀速圆周运动，若男运动员的转速为30转/分，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7m/s 。
g 取10m/s 2。
求：
（1）女运动员做圆周运动的角速度及触地冰鞋做圆周运动的半径；
（2）若男运动员手臂与竖直夹角600，女运动员质量50kg ，则男运动员手臂拉力是多大？
4．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘。
转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
5．如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
知识点二 常见模型之二 1．汽车过拱桥
r v m
N mg 2
cos =-θ mg sin θ = f
B
A
如果在最高点，那么
r v m
N mg 2
=- 此时汽车不平衡，mg ≠N 说明：F ＝mv 2 / r 同样适用于变速圆周运动，F 和v 具有瞬时意义，F 随v 的变化而变化。
补充 ：r v m mg N 2
=- (抛体运动)
2．绳杆球
（1）如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用
v 临界＝Rg
②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。
（2）如图3所示情形，小球与轻质杆相连。
杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力 ①能过最高点v 临界＝0，此时支持力N ＝mg
②当0＜v ＜Rg 时，N 为支持力，有0＜N ＜mg ，且N 随v 的增大而减小 ③当v ＝Rg 时，N ＝0
④当v ＞Rg ，N 为拉力，有N ＞0，N 随v 的增大而增大 3．临界情况问题 典型例题：
1．如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。
现给小球一初速度，使它做圆周运动。
图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ） A ．a 处为拉力，b 处为拉力 B ．a 处为拉力，b 处为推力 C ．a 处为推力，b 处为拉力 D ．a 处为推力，b 处为推力
2．汽车以恒定的速率v 通过半径为r 的凹型桥面，如图6-8-4 所示，求汽车在最低点时对桥面的压力是多大？
R 绳
图 1
v 0
v
R
图 2
v
O
R 杆 图 3
b
O
图 4
3．如图，质量为0.5kg 的小杯里盛有1kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m ，小杯通过最高点的速度为4m/s ，g 取10m/s 2,求：(1) 在最高点时，绳的拉力？(2) 在最高点时水对小杯底的压力？(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点 时最小速率是多少?
4．如图5-4-6所示，细绳一端系着质量为M=0.6kg 的物体，静止在水平面上. 另一端通过光滑的小孔吊着质量为m=0.3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N.现使此平面绕中心轴转动.问角速度ω在什么范围内M 处于静止状态？（g 取10m/s 2）
针对性练习：
1．长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图5所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m ／s ，g 取10m ／s 2，则此时细杆OA 受到 （ ） A ．6.0N 的拉力 B ．6.0N 的压力 C ．24N 的拉力
D ．24N 的压力
2．一质量为m 的物体，沿半径为R 的向下凹的圆形轨行，如图6-8-7所示，经过最低点的速度为v ，物体与轨道之间的动摩檫因数为μ，则它在最低点时受到的摩檫力为：（ ） A ．μmg B ．μmv2/R C ．μm(g+v2/R) D ．μm(g -v2/R)
3．一辆质量m=2.0t 的小轿车，驶过半径R=90m 的一段圆弧形桥面， 重力加速度g=10m ／s 2．求：
(1)若桥面为凹形，汽车以20m ／s 的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大? (2)若桥面为凸形，汽车以l0m ／s 的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大? (3)汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力
O
M
m
r 图（5-4-6）
A
L O
m
图 5
4．一辆载重汽车的质量为4m,通过半径为R的拱形桥，若桥顶能承受的最大压力为F=3mg，为了安全行驶，汽车应以多大的速度通过桥顶？
5．如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一人光滑的半圆形轨道，轨道半公式为R，小球在轨道的最高点对轨道压力等于小球的重力，问
（1）小球离开轨道落到距地面R/2处，小球的水平位移是多少？
（2）小球落地时速度为多大？
6．A、B两球质量分别为m
1与m
2
，用一劲度系数为K的弹簧相连，一长为l
1
的细线与m
1
相连，置于
水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO`上，如图所示，当m
1与m
2
均以角速度w绕OO`做匀速
圆周运动时，弹簧长度为l
2。
求：
（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？
（2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？
第二部分
课后练习：
1．如图所示，一个小球沿竖直固定的光滑圆形轨道的内侧做圆周运动，圆形轨道的半径为R，小球可看作质点，则关于小球的运动情况，下列说法错误的是（）
A．小球的线速度方向时刻在变化，但总在圆周切线方向上
B．小球通过最高点的速度可以等于0
C ．小球线速度的大小总大于或等于Rg
D．小球通过最高点的速度可以等于0
2．小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。
（小球的半径远小于R）
R
3．如图所示, 在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1g的小球, 试管的开口端加盖与水平轴O连接. 试管底与O相距5cm, 试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动. 求：
(1) 转轴的角速度达到多大时, 试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍.
(2) 转轴的角速度满足什么条件时,会出现小球与试管底脱离接触的情况? g取10m/s2.
4．在水平转台上放一个质量为M的木块，静摩擦因数为μ，转台以角速度ω匀速转动时，细绳一端系住木块M，另一端通过转台中心的小孔悬一质量为m的木块，如右图所示，求m与转台能保持相对
静止时，M到转台中心的最大距离R
1和最小距离R
2
.。