2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–3【答案】A【解析】根据自变量所属的取值范围代入分段函数对应的解析式求解即可. 【详解】由函数解析式可得：()1122f ==，()5532f =-=()()()()005112f f f f -===∴本题正确选项：A 【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题. 2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2【答案】D【解析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<；()1,2P Q ∴⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论． 分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0. 3．下列函数的周期不为π的是( ) A ．2sin y x = B ．2tan y x =C ．()2sin cos y x x =- D ．cos cos y x x =+【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式、和差倍角公式，将三角函数化为标准式求解周期. 对选项,A C 运用二倍角公式化简再求周期，对B 化简降次求周期，对D 化简得2cos y x =直接求周期. 【详解】Q 函数21cos 2sin 2x y x -==的最小正周期为22ππ=，满足条件； 函数2tan tan y x x ==的最小正周期为π，满足条件；函数()2sin cos 1sin 2y x x x =-=-最小正周期为22ππ=，满足条件； 函数cos cos 2cos y x x x =+=的最小正周期为221ππ=，不满足条件， 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数周期. 三角函数周期的求解方法公式法 (1)三角函数= = = y sin x y cos x y tan x ，，的最小正周期分别为22πππ，，； (2)(=)y Asin x ωϕ＋和(=)y Acos x ωϕ＋的最小正周期为2||πω，()=y tan x ωϕ＋的最小正周期为||πω 图象法 利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期.4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C【解析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr5．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<< D ．tan 20cos8sin1<<<【答案】C【解析】先分别判断弧度制1,2,8所在的象限，根据三角函数的定义判断函数值的符号. 【详解】1Q 是第一象限，sin10∴>，2Q 是第二象限，tan 20∴<，且tan 21<-，()cos8cos 82π=-，82π-Q 是第二象限，()cos8cos 820π∴=-<， tan 2cos80sin1∴<<<，故选：C. 【点睛】本题主要考查利用三角函数值的符号比较大小. 利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法:(1)已知角α终边上一点P 的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．(2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值． (3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解．认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r【答案】C 【解析】【详解】由已知22()a b b r r r ＋＝，即220a b a ⋅r r r ＋＝.22222||2242a b a a b b b a ⋅r r r r r r r r Q ＋－＝＋＝－符号不能确定，∴A 、B 均不对． 222||224a b b a a b ⋅r r r r r r Q ＋－＝＋ 22220a a a <r r r ＝－＝－.故选C.7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665-【答案】D【解析】根据B 的范围和同角三角函数关系求得sin B ，由大边对大角关系可知A 为锐角，从而得到cos A ；利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】()0,B π∈Q ，3cos 5B =4sin 5B ∴= sin sin A B <Q A ∴为锐角，又5sin 13A = 12cos 13A ∴= ABC π++=Q()1235416cos cos cos cos sin sin 13513565C A B A B A B ∴=-+=-+=-⨯+⨯=- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( )A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ【答案】B【解析】利用2a b a b ==⋅=r r r r 求出,3a b π<>=r r ，几何法作出=CA a tb -u u u r r r ,得,=a a C b A t O r r -∠<>，当1t =时，=3,a a tb OAB r r π<>∠=-,当t →+∞时//OC AC 即23OAC π∠<【详解】由2a b a b ==⋅=r r r r ，得a r ，b r 的夹角为3π，不妨设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，()1OC tb t =≥u u r u r ，不妨设()1OC tb t =≥u u ru r ，则点C 在OB 的延长线上运动，向量a r 和a tb -r r 的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2[,)33OAC ππ∠∈， 故选：B. 【点睛】应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．注意加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3C 5D 3【答案】C【解析】∵函数()()sin cos f x x a x a R =+∈对任意x R ∈都满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴函数()f x 的对称轴为4x π=，且()()21f x a x θ=++∴2221422f a a π⎛⎫=+=±+⎪⎝⎭∴1a =∴函数()()()sin 2sin cos 5g x x f x x x x β=+=+=+ ∴函数()g x 5故选C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数()y f x =满足()()f a x f a x =-+或(2)()f a x f x -=，则函数图象关于直线x a =对称；研究函数()sin cos f x A x B x ωω=+的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成()()22sin f x A B x ωϕ=++的形式.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解. 【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos()sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x Q 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-， ()()12002f f ∴==，()()14202f f ==， 若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-， 即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-， 当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点， 当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=， 作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图： 由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =， 故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B. 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用. 判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <g ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.二、填空题11．函数sin 3y x x =的图象可由函数cos 3y x x =的图象至少向左平移________个单位长度得到. 【答案】32π 【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】Q 函数，cos 32sin()6y x x x π=+=+5sin 32sin()2sin()33y x x x x ππ==-=+， 故把函数cos 3y x x =的图象至少向左平移53362πππ-=个单位，可得sin 3y x x =-的图象， 故答案为：32π. 【点睛】本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换.三角函数图象变换主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位长度和方向. 12．函数211()()2x x f x --=________.【答案】15[)++∞ 【解析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解. 【详解】Q 函数()211()2x x f x --=，210x x ∴--≥，求得152x -≤，或152x +≥， 故函数的定义域为15x x ⎧-⎪≤⎨⎪⎩15x +≥⎪⎭，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为15)++∞， 故答案为：15)++∞. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性. 复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________. 【答案】16949【解析】由已知结合根与系数的关系求得sin cos αα+，进一步求得sin cos αα-，联立求得sin α，cos α的值，得到tan α及cos2α的值，则问题可解． 【详解】sin αQ 与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，7sin cos 13αα∴+=-，两边平方得：1202sin cos 169αα=-， ()0,απ∈Q ，sin 0α∴>，cos 0α<，则217sin cos (sin cos )12sin cos 13αααααα-=-=-=.联立7sin cos 1317sin cos 13αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5sin 13α=，12cos 13α=-. 5tan 12α∴=-. 则()511tan 287316912525tan 1cos 283349(1)(12)12169ααα+-===+⋅-⨯-⨯.故答案为：16949. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.【答案】[4,25]【解析】设a m =r ，b n =u u r．对2a b +=r r ，4a b -=r r 两边平方，可得2210m n +=，再利用向基本不等式的性质即可得出． 【详解】设a m =r ，b n =r ，a b θ<>=r r ，. 2a b +=Q r r ，4a b -=r r， 222cos 4m n mn θ∴++=，222cos 16m n mn θ+-=， 2210m n ∴+=，则2242()25a b m n ≤+≤+=r ra b ∴+r r的范围是4,25⎡⎤⎣⎦.故答案为：4,25⎡⎣.【点睛】本题主要考查向量的模的运算.（1）向量的平方等于模的平方： 0a a a a cos r r r r g ⋅=2a a a =⋅=，（2）基本不等式及其有关变形：(0,0)2a bab a b +>>…当且仅当a b =时取等号. 15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________. 【答案】210113 【解析】由已知在ABD ∆中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而可求sin ADC ∠的值，在ABD ∆中，由余弦定理解得BD ，可求BC ，由余弦定理可得AC 的值. 【详解】1AB =Q ，5AD =，45ABC ∠=︒，∴在ABD ∆中，由正弦定理可得：21sin 22sin 510AB ABCADB AD⋅∠∠===. 2sin sin 10ADC ADB ∴∠=∠=Q 在ABD ∆中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB AD ABC =+-⋅⋅∠，可得：22251212BD BD =+-⨯⨯⨯，即：22240BD BD -=， ∴解得：42BD =32-，282BC BD ∴==∴由余弦定理可得：222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2112821821132=+-⨯⨯⨯= 故答案为：210113【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在平面几何中的综合应用. 平面几何中解三角形问题的求解思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为________.【答案】(,0)(0,1)-∞U【解析】由条件()()12121f x f x x x ->--移项变形得112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-， 则()()g x f x x =+在R 上为增函数，再把问题不等式转化为()g x 函数不等式，利用单调性求解. 【详解】根据题意，设()()g x f x x =+， 若函数()f x 满足对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，则112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-，则函数()g x 在R 上为增函数，又由(1)1f =，则(1)112g =+=，2222(log 31)2log 31(log 31)log 312x x x x f f -<--⇒-+-< 22(log 31)(1)log 311x x g g ⇒-<⇒-<，则有0312x<-<，解可得：1x <且0x ≠，即不等式的解集为(,0)(0,1)-∞U ； 故答案为：(,0)(0,1)-∞U . 【点睛】(())(())f g x f h x >不等式的解法：利用函数性质得到(())y f g x = 函数的单调性利用利用单调性去掉“f ” 原不等式化为()()g x h x >或()()g x h x <从而得解. 17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.【答案】92-【解析】根据题意建立平面直角坐标系，利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标，再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积． 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则(0,0)A ，(4,0)B ，(5cos 60,5sin 60)C ︒︒，即553(,22C ；又::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，15HAB ABC S S ∆∆∴=，作HE AB ⊥于E ，则H 的纵坐标15335y HE ===； 又12HAC ABC S S ∆∆=，作HF AC ⊥于F ， 则1sin6032HF AB =⨯⨯︒= 设HAE α∠=，则3sin 2HA α=，…① sin(60)3HA α︒-=…②sin(60)2sin αα︒-∴=，即31sin 222sin ααα-= 求得sin 3tan s co ααα==， ∴点H 的横坐标32tan 3525HE x AE α====， 3(25H ∴，53(,2HA ∴=-u u u r ，(0,3)HC =u u u r ，530(23322HA HC ∴⋅=-⨯+-⨯=-u u u r u u u r .故答案为： 3- 【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题 其求解方法：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，10sin β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+. 【答案】(1)(2) 4π【解析】分析：(1) 先根据同角三角函数关系得2sin 10α=，2cos 10α=，310cos β=，再根据两角和正弦公式化简得结果，(2) 根据二倍角公式得sin2β，cos2β，再根据两角和余弦公式得()cos 2αβ+，最后根据范围求结果.详解： 由于,αβ为锐角，1tan 7α=，10sin β=∴2sin 10α=，72cos 10α=， 310cos β=231072105sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+==（2）103103sin22sin cos 25βββ===， 24cos212sin 5ββ=-=，∴()724232cos 21051052αβ+=-=由于,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴24παβ+= 点睛：在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是π(0,)2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0,π)，选余弦函数较好；若角的范围为ππ(,)22-，选正弦函数较好 19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6π-；（2）存在，[5,1]--. 【解析】（1）先根据2231b c sinx =-=-r r （，），（，），求出b c +r r的坐标，再根据()a b c ⋅+r r r ，找到向量坐标满足的关系式，根据x 的范围，就可求出x 的值.（2）先假设存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r ，则可得()a d b c +⋅+r u r r r()=0，再用向量数量积的坐标公式计算，若能解出k 的值，则存在，否则不存在. 【详解】（1）(2,2)b =-r Q ，(sin 3,1)c x =-r， (sin 1,1)b c x ∴+=--r r，//()a b c +r r rQ ，(2sin )sin 1x x ∴-+=-，2sin 1x ∴=-，1sin 2x =-，[,]22x ππ∈-Q ，6x π∴=-.（2）(3sin ,1)a d x k +=++r u r ，(sin 1,1)b c x +=--r r若()()a d b c +⊥+r u r r r，即(3sin )(sin 1)(1)0x x k +--+=，2sin 2sin 4sin [1,1]k x x x =+-=∈-，sin 1[0,2]x +∈，()2sin 15x +-，x ∈R ，2(sin 1)[0,4]x +∈，[5,1]k ∈--，存在[5,1]k ∈--使()()a d b c +⊥+r u r r r.【点睛】本题主要考查了平面向量、三角函数有关知识.平面向量平行、垂直与三角函数综合问题求解思路：利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1）23π；（2）432]+. 【解析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cosA ，结合A 的范围可求A 的值. （2）由正弦定理可求434333c sinC b sinB ==，，设周长为y ，利用三角函数恒等变换的应用化简得43()233y sin B π=++，可求范围2333B πππ<+<，利用正弦函数的性质可求取值范围. 【详解】（1）22222202b c a ca b c b c+-+=+-+Q ， ∴由余弦定理可得：2cos 02cos 2bc A cab C b c +=+，∴由正弦定理可得：sin cos sin 0sin cos 2sin sin C A CA CBC +=+，整理可得：02sin cos sin cos cos sin B A C A C A =++，02sin cos sin B A B ∴=+， sin 0B >Q ，∴可得：1cos 2A =-，()0,A π∈Q ， 23A π∴=（2）2a =Q ，23A π=， 2432sin sin 3sin 3b c B C π===Q，33c C ∴=，43b B =， 设周长为y ，则y ac b =++43432B C =+ 3432sin()333B B π=++- 2322cos sin 3B B =++， 43)23B π=++， 03B π<<Q ，2333B πππ∴<+<， 3sin()123B π<+≤， 4343)22]3y B π∴=++∈+. ∴周长的取值范围是432]+.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的灵活运用. 三角形中最值范围问题的解题思路：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()23f x x x =-+- （1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()[)[]23,2,023,0,2x x x f x x x x ⎧++∈-⎪=⎨-+-∈⎪⎩；（2）02a <<. 【解析】【详解】试题分析：（1）当[]2,0x ∈-时，[]0,2x -∈，从而()23f x x x -=++()f x 为偶函数可得()f x 在[]2,0-上的解析式，进而可得()f x 在[]22-,上的解析式．（2）将问题转化为()()max min g x f x <处理．由于()f x 为偶函数，故只可求出当[]2,0x ∈-时()f x 的最小值即可，可得()min 0f x =．又()()max 22g x g a ==-，由20a -<，得2a <，即为所求．试题解析：（1）设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈， ∴()23f x x x -=++∵()f x 定义[]2,2x ∈-在偶函数， ∴()()23f x f x x x =-=++∴()[)[]23,2,023,0,2x x x f x x x x ⎧++∈-⎪=⎨-+-∈⎪⎩ ．（2）由题意得“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”等价于“()()max min g x f x <”．又因为()f x 是定义在[]22-,上的偶函数. 所以()f x 在区间[]2,0-和区间[]0,2上的值域相同. 当[]2,0x ∈-时，()23f x x x =++设3t x =+3t ⎡⎤∈⎣⎦令22()23(1)4,3h t t t t t ⎡=+-=+-∈⎣，则当1t =时，函数()h t 取得最小值(1)0h =， 所以()min 0f x =． 又()()max 22g x g a ==- 由20a -<，解得2a <， 因此实数a 的取值范围为()0,2. 点睛：（1）利用偶函数的性质可求函数的解析式，对于偶函数的值域根据其对称性只需求在y 轴一侧的值域即可，体现了转化的思想在解题中的应用．（2）本题中，将“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”转化为“()()max min g x f x <”来处理，是数学中常用的解题方法，这一点要好好体会和运用．（3）形如y ax b cx d =+±+22．已知向量3,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()12()2x G x m =+在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12；（2）2[1,1)2--. 【解析】(1)根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可. (2)求出函数()G x 的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可. 【详解】（1）()231()3sin cos 21cos 222f x a b x x x x x ωωωωω=⋅=-=-+rr 3112cos 222ωx ωx =-- 1sin(2)62x πω=--，Q 函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π，22T π∴=，得T π=， 即22T ππω==，得1ω=， 即()1sin(2)62f x x π=--.则111()sin(2)1336222f πππ=⨯--=-=； （2）函数1()12()12[sin()]0262x G x m m x π=+=+--=，得22)162m x π=---，当0x π≤≤时，5666x πππ-≤-≤， 当5666x πππ≤-≤且62x ππ-≠时，sin()6y x π=-才有两个交点，此时1sin()126x π≤-<， 则22sin()226x π≤-< 即2202sin()622x π≤--<，2212sin()11622x π-≤---<-，即2112m -≤<-， 即实数m 的取值范围是2[1,1)2--. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质的综合问题.先将()y f x ＝化为si (n )y A x B w j ＝＋＋的形式，再借助(n )si y A x w j ＝＋的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题,注意活用辅助角公式准确化简；“x ωϕ＋”整体处理；数形结合，分离参数，活用函数图象．。