正多边形和圆》课时练习（附答案）一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。

二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。

（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

（3）、正多边形的画法21•正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为（.3A.-6丁3B.-42.3 C.-3\3D.一32•已知正多边形的边心距与边长的比为1-，则此正多边形为A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

4•中心角是45。

的正多边形的边数是 5•已知△ ABC 的周长为20A ABC 的内切圆与边 AB 相切于点D,AD=4,那么BC= 二、课中强化（10分钟训练）21•若正n 边形的一个外角是一个内角的时，此时该正32•同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是 （A.S 3>S 4>S 6B.S 6>S 4>S 3C.S 6>S 3>S 4D.S 4>S 6>S 34•已知O O 和O O 上的一点 A （如图2.6-1）.⑴作O O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH ; ⑵在（1）题的作图中，如果点 E 在弧AD 上，求证：DE三、当堂巩固（30分钟训练） <6A.-23 B.—44 D.-33•周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是（ ）一、课前预习（5分钟训练）1•圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正A.扩大了一倍B.扩大了两倍2•正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为A.3 : 2 : 1B.4 : 3 : 2n 边形的边长与半径之比（)C ・扩大了四倍D ・没有变化( )C.4 : 2 : 1D.6 : 4 : 33•正五边形共有条对称轴，正六边形共有 n 边形有 条对称轴•是O O 内接正十二边形的一边条对称轴•图 2.6-13. _________________________________________________________ 已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为 ______________________________________ cm.4•正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_________________ 度.5. 如图2.6-2，两相交圆的公共弦AB 为2・3，在O O i中为内接正三角形的一边，在。

2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比6. 某正多边形的每个内角比其外角大100 °求这个正多边形的边数.7. 如图2.6-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？8. 如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).(1) ⑵图 2.6-410.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6( n), M、N 分别是O O 的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE 的边AB、BC上的点，且BM=CN ,连结OM、ON.图 2.6-6⑴求图2.6-6(1)中/ MON的度数;⑵图2.6-6(2)中/ MON的度数是____________ ，图2.6-6(3)中/ MON的度数是___________(3)试探究/ MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).⑴U)、课前预习（5分钟训练）1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比（）思路解析：正n 边形的对称轴与它的边数相同。

答案: 4•中心角是45。

的正多边形的边数是360360°思路解析：因为正 n 边形的中心角为二^，所以45。

= ，所以n=8。

答案：8nn5•已知△ ABC 的周长为20A ABC 的内切圆与边 AB 相切于点D,AD=4,那么BC=思路解析：由切线长定理及三角形周长可得。

答案 ：6二、课中强化（10分钟训练）参考答案A.扩大了一倍B.扩大了两倍C •扩大了四倍D.没有变化思路解析：由题意知 圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 n 边形的边长也扩大一倍, 所以相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化答案：D2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（ ）A.3 : 2 : 1B.4 : 3 : 2C.4 : 2D.6 : 4 : 3 』3思路解析：如图，设正三角形的边长为a ,则高AD= —?a , 2外接圆半径OA 」边373心距 0D= a ,所以 AD : OA : OD=3 : 2 : 1。

答案：A63•正五边形共有条对称轴，正六边形共有条对称轴•3601•若正n 边形的一个外角是一个内角的思路解析：因为正 n 边形的外角为 2时，此时该正n 边形有3360 条对称轴•所以由题意得，一个内角为n360 = 2 （-2）・18。

，解这个方程得(n-2) *180 n=5。

答案：52•同圆的内接正三角 形与内接正方形的边长的比是 （）A. 一23 B.—4,6C.—34 D.-3思路解析：画图分析，分别求出正三角形、正方形的边长，知应选 A 。

答案：A3•周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是（ ）A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S31.正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为（ ）C.2.3 3思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1,所以边心距为 0.5,则边长为思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大。

答案： B4•已知O O 和O O 上的一点 A （如图2.6-1）.（1 ）作0 O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH ;⑵在⑴题的作图中，如果点 E 在弧AD 上，求证：DE 是O O 内接正十二边形的一边思路分析：求作O O 的内接正六 边形和正方形，依据定理应将O O 的圆周六等分、四等 分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE 是O O 内接正十二边形的一边， 由定理知，只需证明DE 所对圆心角等于 360 °12 = 30 °⑴作法：①作直径AC;②作直径BD 丄AC;③依次连结 A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 即为O O 的内接正方形；④分别以A 、C 为圆心，0A 长为半径作弧，交O O 于E 、H 、F 、G;⑤顺 次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点.六边形AEFCGH 即为O O 的内接正六边形. ⑵证明：连结OE 、DE.AOD == 90° / AOE == 60°,4 6•••/ DOE = Z AOD -Z AOE = 30°二DE 为O O 的内接正十二边形的一边三、当堂巩固（30分钟训练）图 2.6-1答案：D12•已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为（）2A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选 B 。

答案：B3.已知正六边形的半径为 ______________________ 3 cm ，则这个正六边形的周长为cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用 P 6= 6a n 求出周长。

答案：184•正多边形的一个中 心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于 _________________ 度•答案：144.5•如图2.6-2，两相交圆的公共弦 AB 为2-. 3，在O O i 中为内接正三角形的一边，在。

0?中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径 R 3与R 6的平方比即可• 解：设正三角形外接圆O的半径为R 3,正六边形外接 圆O 02的半径为R 6，由题意得3R 3^ - AB , R 6=AB ,••• R 3 : R 6= . 3 : 3..・.O O i 的面积：O O 2 的面积=1 : 3.36. 某正多边形的每个内角比其外角大 100 °求这个正多边形的边数.思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求 解：设此正多边形的边数为n ,则各内角为（n一2）・18°，外角为360，依题意得nn（_2厂18°-疤=100°解得 n = 9.nn7. 如图2.6-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？4个圆;11 / 10 作法:思路分析：设三个圆的圆心为 O i 、O 2、O 3,连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm的正△ O 1O 2O 3,设大圆的圆心为 O,则点O 是正△ O 1O 2O 3的中心，求出这个正△ O 1O 2O 3 外接圆的半径，再加上O O i 的半径即为所求•解：设三个圆的圆心为 O i 、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正4yf3△ O 1O 2O 3 ,则正△ O 1O 2O 3外接圆的半径为 cm ,所以大圆的半径为34一34-3 6 +2= (cm).3 38•如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形间参与交流、评价).答案：略.9•用等分圆周的方法画出下列图案:(小组之图 2.6-4(1)分别以圆的(2) 分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧10.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6( n), M、N 分别是O O 的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE- 的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结0M、ON.图 2.6-6(1)求图2.6-6(1)中/ MON的度数；⑵图2.6-6(2)中/ MON的度数是____________ ，图2.6-6(3)中/ MON的度数是___________⑶试探究/ MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).答案：⑴方法一：连结OB、OC.•••正△ ABC 内接于O O,.・./ OBM= / OCN = 30° / BOC=120 .又••• BM=CN ,OB=OC , •••△OBM ◎△ OCN. /-Z BOM =Z CON. /-Z MON= / BOC=120 方法二：连结OA、OB. v 正厶ABC 内接于O O，/ AB=AC , Z OAM= Z OBN=30 ,Z AOB=120又v BM = CN，•/ AM=BN.又v OA=OB, •△ AOM 也厶BON. AOM= Z BON. MON= Z AOB=120(2) 90 ° 72 °360 s(3) Z MON= .n《正多边形和圆》课后作业：一、填空题1. ____________________________________________________________ 在一个圆中，如果60*的弧长是n，那么这个圆的半径r= _________________________________2. _______________________________ 正n边形的中心角的度数是.3. __________________________________________ 边长为2的正方形的外接圆的面积等于__________________________________________________ .4. __________________________________________________ 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_____________________________________________ .二、选择题5•正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是( ).(A) 两角互余(B)两角互补(C)两角互余或互补(D)不能确定6•圆内接正三角形的边心距与半径的比是( ).(A)2: 1 ( B)1：2 ( C) ,3:4 ( D) ,3:27•正六边形的内切圆与外接圆面积之比是( )3 V3 1 1(A) (B) (C) (D)—4 2 2 4&在四个命题：(1)各边相等的圆内接多边形是正多边形；是正多边形；(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形；(4) 多边形，其中正确的个数为( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 9.已知：如图，ABCD为正方形，边长为a,以B为圆心，以积为()•(A) (1- n ) a2( B) 1- n (C) (D) a24 4附：答案1. 3 ;2. 2二；4. •3 2 ；DBABD (2)各边相等的圆外切多边形各角相等的圆外切多边形是正BA为半径画弧，则阴影部分面。