高等代数第一次作业第一章 多项式 §1—§3一、填空题1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。

()|()f x h x2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。

()|()f x h x3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。

()|()()/f x g x h x +二、判断题1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）×3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) ×4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√5. 数集}{是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √三、选择题1. 以下数集不是数域的是（ ）BA 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-}B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-}C 、{}是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）CA 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h xB 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f xC 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h xD 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x四、计算题数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题试证用21x -除()f x 所得余式为2)1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。

证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++(1),(1)f a b f a b =+-=-+求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业第一章 多项式 §4—§6一、填空题1. 当()p x 是 多项式时，由()|()()p x f x g x 可推出()|()p x f x 或()|()p x g x 。

不可约2. 当()f x 与()g x 时，由()|()()f x g x h x 可推出()|()f x h x 。

互素3. 设32()3f x x x ax b =+++用1x +除余数为3，用1x -除余数为5，那么a = b = 。

a=0,b=14. 如果((),())1f x g x =，((),())1h x g x =，则 。

(()(),())1f x h x g x =5. 设()p x 是不可约多项式，()|()()p x f x g x ,则 。

()|()p x f x 或()|()p x g x6. 设()p x 是不可约多项式，()f x 是任一多项式，则 。

()|()p x f x 或((),())1p x f x =7. 若()|()g x f x ,()|()h x f x ，且((),())1g x h x =，则 。

()()|()g x h x f x8. 若()|()()p x g x h x ,且 ，则()|()p x g x 或()|()p x h x 。

()p x 是不可约多项式二、判断题1. 若()|()g x f x ,()|()h x f x ，则()()|()g x h x f x （ ）×2. 若(()(),())1f x g x h x =,则((),())1f x h x =，((),())1g x h x = ( ) √3. 若()|()()f x g x h x ,且()|()f x g x ,则((),())1f x h x = ( ) ×4. 设()p x 是数域P 上不可约多项式，那么如果()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是()f x '的1k -重因式。

（ ）√5. 若有()()()()()d x f x u x g x v x =+,则()d x 是()f x ,()g x 的最大公因式 （ ）×6. 若()p x 是()f x '内的k 重因式，则()p x 是()f x 的1k +重因式（ ）× 如1()1k f x x +=+三、选择题1. 关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ）DA 、若()|()()f x g x h x 且()|()f x g x ,则((),())1f x h x =B 、若存在()u x ，()v x ，使得()()()()()f x u x g x v x d x +=，则()d x 是()f x 和()g x 的最大公因式C 、若()|()d x f x ,且有()()()()()f x u x g x v x d x +=，则()d x 是()f x 和()g x 的最大公因式D 、若(()(),())1f x g x h x =，则((),())1f x h x =且((),())1g x h x =2. 关于不可约多项式()p x ,以下结论不正确的是（ ）CA 、若()|()()p x f x g x ，则()|()p x f x 或()|()p x g xB 、若()q x 也是不可约多项式，则((),())1p x q x =或()(),0p x cq x c =≠C 、()p x 是任何数域上的不可约多项式D 、()p x 是有理数域上的不可约多项式3. 关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）DA 、若不可约多项式()p x 是()f x '的k 重因式，则()p x 是()f x 的1k +重因式B 、若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是()f x ，()f x '的最大公因式C 、若不可约多项式()p x 是()f x '的因式，则()p x 是()f x 的重因式D 、若不可约多项式()p x 是()f x 的重因式，则()p x 是))(),(()(x f x f x f '的单因式 四、计算题1．设,12)(,12)(3234+-=-+--=x x x g x x x x x f 求))(),((x g x f 以及),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+解：利用辗转相除法得2112122123()()()()()(1),()()()()()(1)1,()()()(1)().f xg x q x r x g x x x x g x r x q x r x x x x x r x r x q x x x =+=-+-=+=-+-+==-+-因此((),()) 1.f x g x x =-又21212212()()()()()(()()())()()()(1()()).r x g x r x q x g x f x g x q x q x q x f x q x q x =-=--=-++2212((),())()()()(1()())()f x g x r x q x f x q x q x g x =-=-+.所以2212()()1,()1()()1(1)(1).u x q x x v x q x q x x x x ==+=--=---+=-2．设234)(235+-+-=x x x x x f(1)判断)(x f 在R 上有无重因式如果有,求出所有的重因式及重数;(2)求)(x f 在R 上的标准分解式.解:（1）42()538 3.f x x x x '=-+-运用辗转相除法可得：2((),())1f x f x x x '=-+. 21x x -+为)(x f 在R 上二重因式.(2)由(1)可得)(x f 在R 上的标准分解式为22()(1)(2)f x x x x =-++.解法2: )(x f 的可能有理根为1,2±±,经检验2-为)(x f 的有理根,由综合除法可得210143224642123210-------- 因此有43222()(2321)(2)(1)(2)f x x x x x x x x x =-+-++=-++.21x x -+为)(x f 在R 上二重因式. )(x f 在R 上的标准分解式为22()(1)(2)f x x x x =-++.五、证明题1．设2≥k 为正整数,证明:()|()()|()k k f x g x f x g x ⇔.证明:当()|()f x g x 时，有()()(),g x f x q x =因此()()(),k k k g x f x q x =即有()|()k k f x g x . 反之设1212()()()()s r r r s f x p x p x p x =L1212()()()()s m m m s g x p x p x p x =L其中12(),(),,()s p x p x p x L 是互不相同的不可约多项式,0,0(1,2,,)i i r m i s ≥≥=L .由()|()k k f x g x 可得(1,2,,)i i k r k m i s ≤=L ,即(1,2,,)i i r m i s ≤=L .因此有()|()f x g x .2. 已知(),(),()f x g x h x 是数域P 上的多项式，,,,,0,0a b c P a b a c ∈≠≠≠，且22()()()()()()()()()()()()x a f x x b g x x c h x x a f x x b g x x c h x +++=+⎧⎨-+-=+⎩则22(),()x c f x x c g x ++.证明:两式相加得:22(()())2()()x f x g x x c g x +=+.由0c ≠得2(,)1x x c +=.因此有2()()x c f x g x ++.两式相减有2()2()0af x bg x +=,,因此有22()2()x c af x bg x ++.由2()()x c f x g x ++及22()2()x c af x bg x ++可得2(22)()x c a b f x +-.又a b ≠,因此有2()x c f x +.类似有2()x c g x +.高等代数第三次作业第一章 多项式 §7—§9一、填空题1. 设用1x -除()f x 余数为5，用1x +除()f x 余数为7，则用21x -除()f x 余数是 。