图形的剪拼问题1.（大兴22）阅读材料1：把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“分割——重拼”．如图1，一个梯形可以分割——重拼为一个三角形；如图2，任意两个正方形可以分割——重拼为一个正方形．（1）请你在图3中画一条直线将三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的四边形，并将这两个四边形分别画在图4，图5中；阅读材料2：如何把一个矩形ABCD（如图6）分割——重拼为一个正方形呢？操作如下：①画辅助图:作射线OX，在射线OX上截取OM＝AB，MN＝BC．以ON为直径作半圆，过点M 作MI⊥OX，与半圆交于点I；②如图6，在CD上取点F，使AF＝MI ，作BE⊥AF，垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH的位置，把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置，得四边形EBHG．（2）请依据上述操作过程证明得到的四边形EBHG是正方形.22.(1)图①图②图③图④分割正确，且画出的相应图形正确……………………………………………………2分（2）证明：在辅助图中，连接OI、NI．∵ON是所作半圆的直径，∴∠OIN＝90°．∵MI⊥ON，∴∠OMI＝∠IMN＝90°且∠OIM＝∠INM．∴△OIM∽△INM．∴OMIM＝IMNM．即IM 2＝OM·NM．………………3分∵OM=AB，MN=BC∴IM 2 = AB·BC∵AF=IM∴AF 2＝AB·BC=AB·AD．∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AF，∴DC∥AB，∠ADF＝∠BEA＝90°．∴∠DFA＝∠EAB．∴△DFA∽△EAB．∴ADBE＝AFAB．即AF·BE＝AB·AD=AF 2．∴AF＝BE．……………………4分∵AF=BH∴BH＝BE．由操作方法知BE∥GH，BE＝GH．∴四边形EBHG是平行四边形．∵∠GEB＝90°，∴四边形EBHG是正方形．………………………5分2.（怀柔22）阅读下面材料：在数学课上，李老师给同学们提出两个问题：①“谁能将下面的任意三角形分割后，再拼成一个矩形”；②“谁能将下面的任意四边形分割后，再拼成一个平行四边形”.. 经过小组同学动手合作，第3组的小亮同学向大家展示了他们组的分割方法与拼接方案，如图1和图2所示；图⑤图⑥图⑦图⑧图⑨请你参考小亮同学的做法,解决下列问题： （1）“请你将图3再设计一种分割方法，沿分割线剪开后所得的几块图形恰好也能拼成一个矩形”； （2）“请你设计一种方法，将图4分割后，再拼成一个矩形”.22．答案：（说明：本题分割方法不唯一）(1)…………………2分方法一、方法二、方法三、 方法四、（2） ……5分方法一、 方法二、 图形的面积问题3.（房山22）⑴阅读下面材料并完成问题： 已知：直线AD 与△ABC 的边BC 交于点D ，①如图1，当BD=DC 时，则S △ABD________S △ADC ．(填“=”或“＜”或“＞”)DBCADBCABCAD图1 图2 图3②如图2，当BD=21DC 时，则=∆ABD S ADC S∆ ．图3 图4③如图3，若AD ∥BC,则有ABC S ∆ DBC S ∆ ．(填“=”或“＜”或“＞”)⑵请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题： 过四边形ABCD 的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD 的面积分成1︰2的两部分．（保留画图痕迹）22．①=--------------------------------------1分②21--------------------------------------2分③=--------------------------------------3分 ⑵FEBCADDE ∥AC 交BC 延长线于点E E 为F 为BE 三等分点 过E 作FG ∥BD 交DC 于点E ，BC 于G 则直线AF 为所求 则直线DG 为所求 --------------------------------------5分 4.（西城区22） 阅读下列材料 小华在学习中发现如下结论：如图1，点A ，A1，A2在直线l 上，当直线l ∥BC 时，BCA BC A ABC S S S 21∆∆∆==.请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：(1)如图2，已知△ABC ，画出一个等腰△DBC ，使其面积与△ABC 面积相等；(2)如图3，已知△ABC ，画出两个Rt △DBC ，使其面积与△ABC 面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)；(3)如图4，已知等腰△ABC 中，AB=AC ，画出一个四边形ABDE ，使其面积与△ABC 面积B C AD Bl相等，且一组对边DE=AB ，另一组对边BD≠AE，对角∠E=∠B. 图 2图3 图422.解：(1) 如图所示，答案不唯一. 画出△D1BC ，△D2BC ，△D3BC ，△D4BC ，△D5BC 中的一个即可.（将BC 的平行线l 画在直线BC 下方对称位置所画出的三角形亦可) ﹍﹍ 2分上符合要求的点，或将BC 的平行线画在直线BC 下方对称位置所画出的三角形亦可) ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 (3) 如图所示(答案不唯一).﹍﹍﹍ 5分如上图所示的四边形ABDE 的画法说明：(1)在线段BC 上任取一点D （D 不为BC 的中点），连结AD ；(2)画出线段AD 的垂直平分线MN ；(3)画出点C 关于直线MN 的对称点E ，连结DE ，AE. 则四边形ABDE 即为所求.5.（平谷22）在数学活动课上，老师请同学们在一张长为18cm ，宽为14cm 的长方形纸上剪下一个腰为12cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）.小明同学按老师要求画出了如图（1）的设计方案示意图，请你画出与小明的设计方案不同的所有满足老师要求的示意图，并通过计算说明哪种情况下剪下的等腰三角形的面积最小（含小明的设计方案示意图）.22．图2图1A'B正确画出图形2分图（1）272AEFS cm∆=； (3)分图（2）2AEFS∆=；..................................................4分图（3）2AEFS∆=.比较上述计算结果可知，图（3）剪下的三角形面积最小. ...............5分图形变换操作题6.（延庆22）阅读下面材料：阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

B为旋转A’BC,,此题可解（如图2）．如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简）解：（1）AP的最大值是：6（2）AP+BP+CP 的最小值是：6222+（或不化简为31632+）…………4分7.（石景山22）阅读下面材料：小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且3:2:1::=OC OB OA ，求AOB ∠的度数.小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△CO A 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△O AB '，连结O O '. 则△O AO '是等边三角形，故OA O O ='，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形B O O '中. （1）请你回答：︒=∠AOB .（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题： 已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4.求四边形ABCD 的面积. 解：22. 解：（1）150° …………………1分 (2) 如图，将△ADC 绕点A 顺时针旋转60°，使点D 与点B 重合，………2分D CBA 图⑴ 图⑵ 图⑶O C BA得到△O AB '，连结O C '. 则△O AC '是等边三角形，可知4,5'===='DC BO CA O C ，ADC ABO ∠=∠'……………3分 在四边形ABCD 中，︒=∠-∠-︒=∠+∠270360DCB DAB ABC ADC ,)(360''ABO ABC BC O ∠+∠-︒=∠∴ ︒=︒-︒=90270360．……………4分 34522=-=∴BC6432543215432''-=⨯⨯-⨯=-=∴∆∆BCO ACO ABCD S S S 四边形．………………5分8.（顺义22）阅读下列材料：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决． 请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ．EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3O 'DCBA图3M P CB A22．解：图2中∠APB 的度数为 135° ．……………… 1分（1）如图3，以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的 一个三角形是 △APM ．（含画图）………… 2分（2）以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55° ．……………… 5分9．（丰台22）小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD 中，A E⊥BC 于点E ，A F⊥CD 于点F ，连结EF ，△AEF 的三条高线交于点H ，如果AC=4，EF=3，求AH 的长． 小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH 平移至△G CF 的位置(如图2)，可以解决这个问题． 请你参考小杰同学的思路回答： （1）图2中AH 的长等于 ．（2）如果AC=a ，EF=b ，那么AH 的长等于 ．BADCEFHGHFECDAB图1 图2 ．解：（1；……3分（2．……5分特殊三角形10.（门头沟22） 数学课上，同学们探究发现：如图1，顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形. 并且对其进行了证明.（1）证明后，小乔又发现：下面两个等腰三角形如图2、图3也具有这种特性．请你在 图2、图3中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；（2）接着，小乔又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可以把它分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出此三角形的各内角的度数．（说明：要求画出的既不是等腰三角形，图 136︒CA图 245︒45︒图 336︒36︒也不是直角三角形．） 类比学习11.（昌平22）类比学习：有这样一个命题：设x 、y 、z 都是小于1的正数，求证：x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1．小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC ，并分别在其边上截取AD=x ，BE=z ，CF=y ，设△ADF 、△CEF 和△BDE 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则 112S x y =（1-）sin60， 212S y z =（1-）sin60，312S z x =（1-）sin60．由1S +2S +3S ＜ABC S ∆，得 12x y （1-）sin60+12y z （1-）sin60+12z x （1-）sin60所以 x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1． 类比实践：已知正数a 、b 、c 、d ，x 、y 、z 、t 满足a x +=b y +=c z +=d t +=k ． 求证：ay ＋bz ＋ct ＋dx ＜22k ．22．证明：如图，作边长为k 正方形ABCD ．…………1分并分别在各边上截取： AE=a ，DH=b ,CG=c ,BF=d , ∵ ax b y c z d tk ，∴ BE=x ，AH=y ,DG=z ，CF=t . …………………2分 ∵ 90AB C D,∴112S ay ，212S dx ，312S ct ，412S bz．………3分∵1234ABCDS S S S S 正方形,B y t dc b a S 4H x S 3S2S 1FDAB CE z∴ 211112222aydx ct bz k . ∴ 22ay bz ct dx k ． …………………5分12.（海淀22）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒ <α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.图1 图2小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题： 如图3，在等边△ABC 中, E1、E2、E3分别为AB 、 BC 、CA 的中点，P 1、P2, M 1、M2, N1、N2分别为 AB 、BC 、CA 的三等分点.（1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；（2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为 ．22.解：（1）画图如下：(答案不唯一) ……………2分 图3（2）图3中△FGH 的面积为7a. …………………4分13.（密云22）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．E 3 E 1 2 P 1 P 2 N 1N 2 2 M 1B A 图3 G F H（1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．22．（本小题满分5分）证明：（1）如图2，过点P 作AD PJ CD PI BC PH AB PG ⊥⊥⊥⊥,,,，∵EP 平分DEC ∠，∴PH PJ =． -----------------------------------------1分同理 PI PG =．∴P 是四边形ABCD 的准内点．----------------------2分（2）说明：①平行四边形对角线,AC BD 的交点1P （或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P ）是准内点，如图3（1）和图3（2）； ---4分②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点2P 是准内点，如图4. --5分14.（东城区22） 阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根．据此可知：(1) i 可以运算，例如：i3=i2·i=-1×i=-i ，则i4= ， i2011=______________，i2012=__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．15.（通州25附加题）问题情境已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型 设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x =+＞．探索研究（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)y x x x =+＞的图象性质．①填写下表，画出函数的图象：②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y = ax2＋bx ＋c （a ≠ 0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到，请你通过配方求函数1y x x =+(x ＞0)的最小值．解决问题（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．25.选作题解：⑴ ①174，103，52，2，52，103，174． 函数1y x x =+(0)x >的图象如图．………………………………………(1分) x …… 14 13 12 1 2 3 4 …… y …… ……，， ……………………………………（3分）②本题答案不唯一，下列解法供参考．当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数1y x x =+(0)x >的最小值为2． ………………………(5分) ③1y x x =+=221()()x x +=22111()()22x x x x x x +-⋅+⋅………………………………………(7分) =21()2x x -+当1x x -=0，即1x =时，函数1y x x =+(0)x >的最小值为2．…(8分) ⑵当该矩形的长为a 时，它的周长最小，最小值为4a ………(10分)。