从勾股定理到图形面积
关系的拓展
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
从勾股定理到图形面积的拓展
教学目标：
1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力
教学重点：利用勾股定理，解决实际问题
教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。

教学过程：
一、 向外拓展正方形
如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,
分别以a,b,c 三边为边做正四边形，那么有132s s s =+
证明：∵ 22b s =，23a s =，21c s = 根据勾股定理：222c b a =+
∴ 132s s s =+
拓展练习：
1、如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形，
其中最大的正方形的边长为7cm．你能求出正方形A、B、
C、D的面积之和吗？请试一试．
2、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外
作四个正方形，若S
1+S
4
=100，S
3
=36，
则S
2
=（）
3、如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11.求正
方形b的面积.
4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号两个正方形的面积为4则A,B,C三个正方形的面积和为多少?
二、向外拓展正三角形
如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正三角形，那么有132s s s =+
如图做三角形2s 的高h ，因为2s 是以b 为边的等边
三角形，易得 h=b 23，2s =b b 2321••=243b 同理：2343a s =，2143c s =；)(4
32232b a s s +=+，根据勾股定理222c b a =+得2324
3c s s =+=1s 即：132s s s =+
三、向外拓展正五边形
如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，
求证：132s s s =+
1s S2 3
s
证明：如图连接正五边形的中心O 与一边端点的连线构成一个等腰三角形，并做出等腰三角形底边上的高h,
∵cot α=
2c h , ∴αcot 2
c h =, ∴ααcot 4
55cot 22121•=••=c c c S . 同理：αcot 4522•=b s ，αcot 4
523•=a s ，
∴
)(cot 4
5cot 45cot 45222232a b a b s s +=•+•=+ααα 由勾股定理得：222c b a =+，∴
1232cot 4
5s c s s =•=+α 即：132s s s =+
依次类推：以直角三角形的三边为边长做正n 边形时. αcot 4
22•=b n s ，αcot 4
23•=
a n s ，αcot 421•=c n S ，根据勾股定理：222c
b a =+，1232cot 4s
c n s s =•=+α 即：132s s s =+
通过上面的证明我们就得到了“以任意直角三角形的三边为边长做边数相等的正多边形，以斜边边长为边的正多边形的面积等于以直角边边长为边的两正多边形的面积之和.”
四、向外拓展半圆 同样我们还能得到以“任意直角三角形的三边为直径做半圆（或圆），以斜边边长为直径的半圆（或圆）的面积等于以直角边为直径的两个半圆（或圆）的面积之和”. 下面我们来看证明： 已知：如图，直角三角形的两直角边为a,b ，斜边为c,分别以
a,b,c 为直径做半圆. 求证：132s s s =+
证明：∵ 2218)2(21c c s ππ==，2228
)2(21b b s ππ==， 2238)2(21a a s ππ== ∴ )(888222232a b a b s s +=+=
+πππ，由勾股定理
222c b a =+得：122222328)(888s c a b a b s s ==+=+=+π
π
π
π
，
即：132s s s =+
拓展练习：把大半圆向上翻折，得到如下图：
S
S
欣赏勾股图
教学总结：
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，从勾股定理到图形面积关系的拓展练习中感受学习数学的魅力，体会古代数学的文化成就．。