§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1．命题p ：x ＝π是函数y ＝sin x 图象的一条对称轴；q ：2π是y ＝sin x 的最小正周期，下列复合命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③綈p ；④綈q ，其中真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
解析：由于命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 是真命题，綈q 是假命题，因此①②③④中只有①③为真． 答案：C
2．命题“∀x ＞0，x 2
＋x ＞0”的否定是( )． A ．∃x 0＞0，x 20＋x 0＞0 B ．∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0 C ．∀x ＞0，x 2
＋x ≤0
D ．∀x ≤0，x 2
＋x ＞0
解析 根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0. 答案 B
3．ax 2
＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )． A ．0＜a ≤1 B ．a ＜1
C ．a ≤1
D ．0＜a ≤1或a ＜0
解析 (筛选法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C. 答案 C
4．下列命题中是假命题的是( )
A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m 2
－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2
x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数
解析：对A ，当m ＝2时，f (x )＝1
x
是幂函数且在(0，＋∞)上递减；对B ，由于Δ＝1＋4a >0，
故f (x )＝ln 2
x ＋ln x －a 有零点；对C ，当α＝π4，β＝0时，有cos(π4＋0)＝cos π4＋sin0；
对D ，当φ＝π
2时，f (x )是偶函数，故D 是假命题．
答案：D
5.“2
2
0a b +≠”的含义为（）
A．
,a b不全为0
B．
,a b全不为0
C．
,a b至少有一个为0 D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0
解析:
,0
2
2=
=
⇔
=
+b
a
b
a,于是220
a b
+≠就是对0
,0=
=b
a即b
a,都为0的否
定, 而“都”的否定为“不都是”或“不全是”,所以应该是“
,a b不全为0”.
答案：A
6．下列命题错误的是( )．
A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0
解析依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．
答案 C
7．已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范围是( )．
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
解析(直接法)∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x0∈R，mx20＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①
由q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得∃x0∈R，x20－2mx0＋1≤0，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
答案 A
【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.
二、填空题
8．若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析 因为“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2
－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2
－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2. 答案 －22≤a ≤2 2
9．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“非p ”中是真命题的有________． 解析：依题意p 假，q 真，所以p ∨q ，非p 为真． 答案：p ∨q ，綈p
10.若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使asin θ≥a 成立，则cos(θ－π6)的值为 .
解析：∵∀a ∈(0，＋∞)，asin θ≥a ， ∴sin θ≥1，又sin θ≤1，∴sin θ＝1，
∴θ＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴cos (θ－π6)＝sin π6＝1
2
.
答案：1
2
11．令p (x )：ax 2＋2x ＋a ＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵对∀x ∈R ，p (x )是真命题． ∴对∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋a ＞0恒成立， 当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立， 当a ≠0时，若不等式恒成立， 则⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＞0，Δ＝4－4a 2
＜0，
∴a ＞1.
答案 a ＞1
12．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．
解析 由“∀x ∈R ，x 2
－5x ＋
152a ＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152
a ＞0”必为真命题，即不等式x 2
－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．
设f (x )＝x 2
－5x ＋152
a ，则其图象恒在x 轴的上方．
故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫56，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫56，＋∞
三、解答题
13．已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增； 命题Q ：不等式(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立． 若P ∨Q 是真命题，求实数a 的取值范围
解：命题P 函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增； ∴0<a <1.
又∵命题Q 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立；
∴a ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －2<0，
Δ＝4a －22
＋16a －2<0，
即－2<a ≤2.
∵P ∨Q 是真命题，∴a 的取值范围是－2<a ≤2
14．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|＞0.
解 (1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．
15．已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2
＋mx ＋1＞0.如果对∀x ∈R ，r (x )与
s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．
解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.又∵对∀x
∈R ，当s (x )为真命题时，
即x 2
＋mx ＋1＞0恒成立有Δ＝m 2
－4＜0，∴－2＜m ＜2.
∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2.当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2.
16.已知命题p ：方程2x 2
＋ax －a 2
＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 2
0＋2ax 0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a 的取值范围. 解析：由2x 2
＋ax －a 2
＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0， ∴x ＝a
2
或x ＝－a ，
∴当命题p 为真命题时，|a
2|≤1或|－a|≤1，
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为a>2或a<－2.。