2020届高三数学第一次联考试题 理
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2
{30},{17}M x x x N x x =-<=≤≤，则M
N =
A.{13}x x ≤<
B.{13}x x <<
C.{07}x x <<
D.{07}x x <≤ 2.设复数213i
z i
-=
+，则z =
A.
13 C.1
2
3.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如右图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为46可用算筹表示为
4.为了贯彻落实党中央精准扶贫的决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制成下图，其中各项统计不重复，若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误．．
的是
A.该市共有15000户低收入家庭
B.在该市从业人员中，低收入家庭有1800户
C.在该市失无业人员中，低收入家庭有4350户
D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户
5.运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填
A.1S ≥
B.S>2
C.S>lg99
D. lg98S ≥
6.已知幕函数()a
f x x =的图象过点(3，5)，且11
(),log 4
a
a
a b c e
==
=，则a ，b ，c 的大小关系为
A.c<a<b
B.a<c<b
C.a<b<c
D.c<b<a 7.已知非零向位a ，b 满足a b λ=，若a ，b 夹角的余弦值为19
30
，且(2)(3)a b a b -⊥+，则实数λ的值为
A.49-
B.23
C.32或49-
D.32
8.记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＝10，a 2a 3a 4＝64，则 A.S n ＋1－S n ＝2
n ＋1
B.a n ＝2n
C.S n ＝2n
－1 D.S n ＝2
n －1
－1
9.
函数2sin ()6x
f x =的图象大致为
10.设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与圆C'：x 2＋(y
)2
＝3交于M ，N 两
点.
若MN =MNF 的面积为
A.
8 B.3
8
11.关于函数()cos cos 2f x x x =+有下列三个结论：①π是f(x)的一个周期；②f(x)在
35[
,]44
ππ
上单调递增；③f(x)的值域为[－2，2]。
则上述结论中，正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3
12.已知四棱锥S －ABCD 的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的图过点E.若SA
AB ＝3，则△SED 的面积的最小值为 A.9 B.7 C.
92 D.72
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若变量x ，y 满足约束条件212420y x x y y ≤+⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则z ＝x －2y 的最大值为
14.函数2()x
f x x e
-=⋅的极大值为
15.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，直线l ：x ＝4a 与双曲线C 的两条渐近线分别交
于A ，B 两点，若△OAB(点O 为坐标原点)的面积为32，且双曲线C 的焦距为C 的离心率为
16.记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知21(1)n n n S a n a -+=+，且a 2＝5。
若2n
n
S m >，则实数m 的取值范围为
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分. 17.(12分)
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －b)2
＝c 2
－ab 。
(Ⅰ)求角C ； (Ⅱ)若4cos()sin 02
c A b C π
++=，a ＝1，求△ABC 的面积。
18.(12分)
如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，点D ，E 分别在线段AA 1，CC 1上，且AD ＝1
3
AA 1，DE//AC ，F 是线段AB 的中点。
(Ⅰ)求证：EF//平面B 1C 1D ；
(Ⅱ)若AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AA 1＝3AB ，求直线BC 与平面B 1DE 所成角的正弦值。
19.(12分)
已知椭圆C ：2
214
x y +=，不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点。
(Ⅰ)若线段MN 的中点坐标为1(1,)2
，求直线l 的方程；
(Ⅱ)若直线l 过点(4，0)，点P(x 0，0)满足k PM ＋k PN ＝0(k PM ，k PN 分别为直线PM ，PN 的斜率)，
求x 0的值。
20.(12分)
已知函数2
1()(ln )2
f x mx x =+。
(Ⅰ)若m ＝1，求曲线y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)当m ≤1时，要使f(x)>xlnx 恒成立，求实数m 的取值范围。
21.(12分)
某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度。
在每一轮游戏中，主持人给出A ，B ，C ，D 四种食物，要求小孩根据喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果，设小孩对四种食物排出的序号依次为x A x B x C x D ，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D ，其中x A x B x C x D ，y A y B y C y D 都是1，2，3，4四个数字的一种排列。
定义X ＝(x A －y A )2
＋( x B －y B )2
＋(x C －y C )2
＋(x D －y D )2
，用X 来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度。
(Ⅰ)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解。
(i)求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率； (ii)求X 的分布列(简要说明方法，不用写出详细计算过程)。
(Ⅱ)若有一组小孩和家长进行了三轮游戏，三轮的结果都满足X<4，请判断这位家长对小孩的饮食习惯是否了解，说明理由。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x m m
y m m ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
(m 为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()13
π
ρθ+=。
(Ⅰ)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知点M(2，0)，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求
11
MP MQ
+的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知x ，y ，z 是正数。
(Ⅰ)若xy<1，证明：4x z z y xyz ++>；
(Ⅱ)若1
3
xyz x y z =++，求2xy •2yz •2xz 的最小值。