江苏南师附中2021届高三年级联考试题数 学参考公式：1．随机变量X 的方差()()21ni i i D X x p μ=-∑＝，其中μ为随机变量X 的数学期望． 2．球的体积公式：334R V π=． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{x |﹣4＜x ＜2}，N ＝{x |x 2﹣5x ﹣6＜0}，则M N = （ ） A ．{x |﹣1＜x ＜2} B ．{x |﹣4＜x ＜2} C ．{x |﹣4＜x ＜6}D ．{x |2＜x ＜6}2．若z=2+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．5C ．2D ．13 3．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b <成立的充分不必要的条件是（ ）A ．1a b <-B ．1a b <+C ．22a b <D ．33a b < 4．赵爽是我国古代数学家、天文学家．约公元222年，赵爽为《周髀 算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是 由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如 图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若 直角三角形较小的锐角为α，则tan2α的值为（ ）A ．34B ．2425C ．127D ．2475．函数ln ||()x f x x x=-的图象大致为（ ）6．已知随机变量X －1 a 1 P161312当a 在()11-，内增大时，方差()D X 的变化为（ ） A ．增大 B ．减小 C ．先增大再减小 D ．先减小再增大D7．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，连接AC ，MN 交于点P ．已知→AP ＝13→AC ，且→AM ＝34→AB ，若→AN ＝λ→AD ，则实数λ的值为（ ）A ．12B ．35C ．23D ．348．三棱锥中，，，的面积为11，则此三棱锥外接球的体积为 （ ）A ．π16 B ．π4 C ．π316 D ．π332二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．某城市为了解景区游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年2月至7月A ，B 两景区旅游人数（单位：万人），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（ ）A ．根据A 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数的平均值在[]34,35内；B ．根据B 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数总体呈上升趋势；C ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得A 景区旅游人数极差比B 景区大；D ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得B 景区7月份的旅游人数比A 景区多． 10．已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过点F 且斜率为3的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），交抛物线的准线于点C ．则下列结论正确的是（ ）A ．AF FC =B ．||2||AF BF =C ．||3AB p =D ．以AF 为直径的圆与y 轴相切 11．下列命题正确的有（ ）A ．若，，则；B ．若，，，则的最大值为4C ．若，，，则的最小值为；D ．若实数,则12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E . J . Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点.依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点；B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点；C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数；D ．若函数()e x f x x a =+-在区间[0,1]上存在不动点，则实数a 满足1e a ≤≤（e 为自然对数的底数）．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知数列，满足，其中是等差数列且1020112a a =，则122020b b b +++= ___________．14．双曲线()2222C:100x y a b a b-=>>，的一条渐近线与圆22x-3y 8M =：()+相交于A 、B 两点，|AB |22= ，则双曲线的离心率等于___________．15．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，四面体ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，BC AB ⊥,且2,1===BC AB PA ,则二面角B PC A --的正弦值为___________．16．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，已知(－π6，0)为f (x )图象的一个对称中心，直线x ＝13π12为f (x )图象的一条对称轴，且f (x )在[13π12，19π12]上单调递减，记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S的值为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①cos2B ＋2cos 2B2＝1；②2b sin A ＝a tan B ；③(a －c )sin A ＋c sin(A ＋B )＝b sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若________． （1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝4，求△ABC 周长的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足222)21(n n n S a n S ≥-＝．（1）求证：数列1{}nS 是等差数列； （2）设1n n b S =，21+1n n n n b c b b +=⋅（），求数列的前n 项和n TMxyO ANB 19．如图，在三棱锥ABC P -中，2==BC AB ，2====AC PC PB PA ．（1）证明：平面⊥PAC平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM所成角的正弦值为43，求BM ．20．某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成．比赛中每人投篮n 次（n *∈N ），每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）当n ＝2时，求小组共投中4次的概率；（2）当n ＝1时，若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分．随机变量X 表示小组总分，求随机变量X 的分布列及数学期望．21． 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为23，左右顶点为A ，B ．斜率存在的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（M 在x 轴上方，N 在x 轴下方），记直线MA ，NB 的斜率分别为12k k ，． （1）求椭圆的标准方程；（2）若213k k =，证明：直线MN 过 定点，并求出该定点坐标．22．已知函数()1xf x e =-，()sing x x =（1）判断()()()F x f x g x =-在[0,)x ∈+∞上零点的个数；（2）当[0,]x π∈时，()()f x ag x ≥()a R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案一、 单选题CBADADBD 二、 多选题9、ABD 10、AD 11、ACD 12、BCD 三、填空题13、1010 14 15、36 16、512四、解答题17、解：（1）选①，由cos2B ＋2cos 2B2＝1得，2cos 2B ＋cos B －1＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝－1（舍），因为()0,πB ∈，所以π3B =. ··················5分 选②，因为2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a B b A B =，由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos BB A A B =⋅，又因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为()0,πB ∈，故π3B =. ····················5分 选③，因为(a －c )sin A ＋c sin(A ＋B )＝b sin B ，又A ＋B ＋C ＝π，故()()sin sin πsin A B C C +=-=， 所以由正弦定理，得()22a c a cb -+=，即222a c b ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =. ···················5分 （2）因为a ＋c ＝4，由余弦定理得，()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-， 即2316ac b =-.因此221632a c b +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以16－b 2≤12，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号. 所以min 2b =，因此ABC 周长的最小值为6. ···················10分18、(1)证明：当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n 2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n S n －1 . ……………………..2分两边同时除以S n S n －1，得1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，以2为公差的等差数列．………..4分 (2)由(1)可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的通项公式为1S n ＝1＋(n －1)×2＝2n -1………..6分22221+14411=(21)(21)41n n n n b n n c b b n n n +-+==⋅-+-（） 111111()(21)(21)22121n n n n =+=+--+-+ ………..10分111111111(1)1()()2323522121n T n n ∴=+-++-++--+11(1)22121nn n n n =+-=+++ ………..12分19、解：（1）取AC 中点O ，因为2===AC PC PA ，所以ACPO ⊥，且3=PO ． 连结O B ，因为2A B B C A C ==，所以A B C △为等腰直角三角形， 且O B A C ⊥，121==AC OB ． 由222O PO B P B+=知P O O B ⊥． 2分 由,O P O B O P A C ⊥⊥知P O ⊥平面ABC ． 4分 又⊂PO 平面PAC ，所以平面⊥PAC 平面ABC ． 6分 （1）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O x y z -．由已知得)3,0,0(),0,1,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(P C A B O -，)3,1,0(=AP ,取平面PAC 的法向量）（0,0,1=OB ．设）10)(0,1,(≤≤-a a a M ，则)0,2,(a a AM -=． 设平面P A M 的法向量为）（z y x n ,,=， 由00=⋅=⋅n AM n AP，得⎩⎨⎧=-+=+0)2(03y a ax z y ，取）（a a a n --=,3),2(3 8分设PC 与平面PAM 所成角为α，又)3,1,0(-=PC ，则433)2(3232|,cos |sin 222=++-=><=a a a an PCα， 10分所以2-=a （舍去）或32=a ,所以)0,31,32(M ，所以32=BM ． 12分20、（1）记“小组共投中4次”为事件A ，则女生中1人两次都不中的概率为()()()22212211C 1333- 1分 男生两次都不中的概率为()()()2222111333- 2分男生1次不中女生有1次不中的概率为()()()211122222111C 1C C 133333-⋅- 3分女生两人各有1次不中的概率为()()2212211C 1333⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 4分 ∴()()()()()()()()()()22222221111222221121122111C 11C 1C C 133333333333P A -+-+-⋅-＝()()2212211C 1333⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦＝12943729243＝． 5分 （2）X 的可能取值为－60，10，20，30 6分 ()()()221460113327P X ---＝＝＝()()()()212212111241011C 133333279P X -+--＝＝＝＝()()()()212211219120C 1133333273P X -+-＝＝＝＝()()2212303327P X ＝＝＝ 10分11分所以()()44121204060102030279327279E X -⨯+⨯+⨯+⨯＝＝＝ 12分21、解（1）由题知24,c a e a ===2,a c ==， 又因为222a b c =+，解得1b =， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； ……… 4分（2）设:MN y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y 联立22,44y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化简得222(14)8440k x kmx m +++-=，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==++， ………………6分由213k k =得2212219(2)(2)y y x x 2=-+，代入222212121,144x x y y =-=-得：121225()80x x x x -++=，……………… 10分所以2228840801414m kmk k-++=++，即：22450k km m ++=，m k =-，或4m k =-（舍，M ，N 在x 轴同侧）所以MN 过定点(1,0)． ……………………12分22、解：（1）()1sin xF x e x =--，所以'()cos xF x e x =-当(0,)x ∈+∞时，1xe >，cos 1x ≤，所以'()0F x >.所以()F x 在[0,)+∞上单调递增. ……2分又[0,)x ∈+∞，所以()(0)0F x F ≥=故()F x 在[0,)x ∈+∞上零点个数为1个. ………………4分 （2）记()1sin ()xx e a x a R ϕ=--∈.所以'()cos xx e a x ϕ=-，设'()()h x x ϕ=，()sin xh x e a x '=+，当0a ≤时，即0a -≥时，因为[0,]x π∈，sin 0x ≥，所以sin 0a x -≥，而10xe -≥，所以1sin 0xe a x --≥，即()0f x ≥恒成立.………………6分当01a <≤时，()sin 0xh x e a x '=+≥，所以'()x ϕ在[0,]π上递增，而'(0)10a ϕ=-≥，所以''()(0)0x ϕϕ≥=，所以()x ϕ在[0,]π上递增，即()(0)0x ϕϕ≥=成立， ………………8分当1a >时，()sin 0xh x e a x '=+≥，所以'()x ϕ在[0,]π上递增，而'(0)10a ϕ=-<，'202e ππϕ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以存在0[0,]x π∈，有()'00x ϕ=， 当00x x <<时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，当0x x π<<时，'()0x ϕ>，()x ϕ递增，所以当0x x =时，()x ϕ取得最小值.最小值为()0x ϕ，而()0(0)0x ϕϕ<=，不成立.综上：实数a 的取值范围是(,1]-∞. ………12分。