构造函数解题的三个类型
构造函数解题是近几年高考命题的热点，笔者研究近年的高考题，发现构造函数解题主要有以下三种类型，下面举例说明．
类型1．整体构造一个函数，这是最常见的构造方法，高考题中利用这个方法的题型最为多见．
例1 解不等式：3381050(1)1
x x x x +-->++． 解：原不等式即3322()5()511
x x x x +>+++， 令3()5f x x x =+，则2()350f x x '=+>，
∴3()5f x x x =+在R 上是增函数，
∴原不等式即21
x x >+， ∴解得 2x <-，或11x -<<，
∴原不等式的解集为{|2x x <-，或11}x -<<．
类型2．构造两个函数，这种类型的题目较少，技巧较强
例2 若20()2()||f x x x m x m x =+---≥对于一切[1,2]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围．
解：令()()||g x x m x m =--，2()2h x x x =-，则()()()f x g x h x =+．
∵22,(),()()||(),,m x m x g x x m x m x m x m ⎧-=--=⎨--<⎩
≥ ∴()g x 在R 上是增函数，∴()g x 在[1,2]x ∈上是增函数．
∵当[1,2]x ∈，()410h x x '=->，
∴()h x 在[1,2]x ∈上是增函数．
∴()()()f x g x h x =+在[1,2]x ∈上是增函数，
∴min ()(1)1(1)|1|f x f m m ==+--．
由题意只要01(1)|1|m m +--≥，
∴2101(1)m m ⎧⎨--⎩≥≥或2101(1)m m <⎧⎨+-⎩
≥ ∴12m ≤≤，或1m <，∴2m ≤．
∴实数m 的取值范围是(,2]-∞．
类型3 局部构造一个函数，这种题型难度较大，因此命题者一般把题目设计为： 该题目的前一问已经证明了需要构造的函数的某种性质，这时要注意利用前一问解题．
例3已知函数()(ln 1)x f x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）
．是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y f x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，说明理由．
解：11()(ln 1)1(ln 1)1x x x f x e x e x e x x
∙'=+-+=+-+， 令1()ln 1g x x x =+-，则22111()x g x x x x
-'=-+=． 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,]x e ∈时，()0g x '>，
∴()(1)1ln110g x g =+-=≥，
∴()10f x '>≥，∴()0f x '=在(0,]x e ∈上无解，
∴不存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y f x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直．
说明：该题的原题是
已知a R ∈，函数()ln 1a f x x x
=+-，()(ln 1)x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．
（1） 求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；
（2） 是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若
存在，求出0x 的值；若不存在，说明理由．
显然，当1a =时，()ln 1a f x x x =
+-就是第二问需要构造的函数，考生要注意用这个信息解题．
巩固练习：1。

已知函数2()ln f x x a x =-在区间(1,2]上是增函数，()g x x =-间(0,1)上是减函数．
(1)求()f x ，()g x 的解析式；
(2)当0x >时，讨论方程()()2f x g x =+的解得个数．
2． 讨论关于x 的方程
2ln 2x x ex m x =-+的根的个数． 参考答案：
1．解：(1)∵()20a f x x x '=-
≥在(1,2]上恒成立，∴2a x ≤，∴2a ≤．
∵()10
g x '=-≤在(0,1)上恒成立，∴a ≥2a ≥．
∴2a =．∴2()2ln f x x x =-，()g x x =-
(2)令()()()2F x f x g x =-+,
则2()21F x x
x '=-- 当01x <<，()0F x '<，()()()2F x f x g x =-+是减函数，
当1x >，()0F x '>，()()()2F x f x g x =-+是增函数， 从而当0x >时，min ()(1)0F x F ==．
所以方程()()2f x g x =+在(0,)+∞上只有一个解1x =．
2．解：令ln ()x f x x
=，2()2x g x x e m =-+，0x >． 2
1ln ()x f x x -'=∵， ∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， ∴max 1()()f x f e e
==， 222()2()g x x ex m x e m e =-+=-+-∵，
∴2min ()()g x g e m e ==-，
∴当21m e e ->，即21m e e
>+时，方程无解； 当21m e e
=+时，方程有一解； 当21m e e
<+时，方程有两解．。