题目：线性规划模型问题
摘要：本次数学建模论文，旨于通过本次论文活动不断增加大学生数学建模能投资问题数学建模力，提高本班同学的数学建模技巧及其综合数学素养。
关键词：投资. 收益. 线性规划.最大值
主要内容；
1.问题：
某部门现有资金10万元，五年内有以下投资
项目供选择：
项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；
项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；
项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；
问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？
2.建立模型思路：
用ij x 表示第i 年对第j 个项目的投资金额
要使第五年年末本息总额最大，应当在每年将所有可用资金都用于投资，以确保资金的充分利用，由于项目投资均发生在年初，故以下只讨论年初的投资情况：
第一年：101411=+x x
第二年：手上资金（即第一年年末收回资金）为14%106x ，全部用来对
可投资项目投资，则有14%106x =242321x x x ++
第三年：同理，有2411%106%115x x +=343231x x x ++
第四年：3421%106%115x x +=4441x x +
第五年：4431%106%115x x +=54x
第五年年末本息和为41233254%115%140%125%106x x x x +++（即第五年所
能收回的所有资金）
3.建立模型：
max 233241544.125.115.106.1x x x x f +++=
st 101411=+x x
1406.1x =242321x x x ++
241106.115.1x x +=343231x x x ++
342106.115.1x x +=4441x x +
443106.115.1x x +=54x
323≤x ，432≤x
4..1,
5..1,0==≥j i x ij
4.求解模型：
Lingo 解法：
可编写lingo 程序如下：
Model :
max =1.06*x54+1.15*x41+1.25*x32+1.4*x23;
x11+x14=10;
1.06*x14=x21+x23+x24;
1.15*x11+1.06*x24=x31+x32+x34;
1.15*x21+1.06*x34=x41+x44;
1.15*x31+1.06*x44=x54;
x23<=3;
x32<=4;
end
运行结果如下：
所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:
x11=7.169811,
x14=2.830189,
x23=3,
x32=4,
x34=4.245283,
x41=4.5,
其余值为0
即第一年对A 项目投资7.169811万元，
对D 项目投资2.830189万元；
第二年对C 项目投资3万元；
第三年对B 项目投资4万元，
对D 项目投资4.245283万元；
第四年对A 项目投资4.5万元。
加工奶制品的生产计划
1.问题 品加工厂用牛奶生产1A ，2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲用12小时加工成3公斤1A ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A 。
根据市场需求，生产的1A ，2A 全部能售出，且每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间魏480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A ，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下三个附加问题：
1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶牛奶？
2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
3）由于市场需求变化，每公斤1A 的获利增加到30元，应否改变生产计划？
2.问题分析 这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A ，用多少桶牛奶生产2A ，决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、设备甲的工作能力。
按照题目所给，将决
策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就得到下面的模型。
3.基本模型:设每天用1x 桶牛奶生产1A ，用2x 桶牛奶生产2A 。
设每天获利Z 元。
1x 桶牛奶可生产31x 公斤1A ，获利1324x ⨯，2x 桶
牛奶可生产42x 公斤2A ，获利2416x ⨯，故Z=216472x x +.
生产1A ，2A 的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即1x +2x ≤50
桶；
生产1A ，2A 的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即
121x +82x ≤480小时；
1A 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x ≤100；
1x ，2x 均不能为负值，即1x ≥0，2x ≥0。
综上可得 Max Z=216472x x + (1)
s.t. 1x +2x ≤50 (2)
121x +82x ≤480 (3)
31x ≤100； (4) 1x ≥0，2x ≥0 (5)
4.模型求解
生产规划问题求解
某工厂在计划期内安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料如下表所示：
假设该工厂每生产一件产品甲可以获利2元，每生产一件产品乙获利3元。
(1) 问应如何安排生产计划才能使该工厂获利最多？试建立该问题的数学模型;
(2) 用图解法求解(1)中的数学模型(提示：梯度方向是函数值增加最快的方向，负梯度方向是函数值减少最快的方向)；
(3) 对于线性规划模型，如果有最优解，那么其最优解一定可以在其可行域的某个顶点处达到。
试根据该结论为(1)中的数学模型设计一个可行的求解算法（图解法除外），并给出详细的算法步骤；(4) 请给出求解该问题的Lingo程序
解：1)设x为甲产品的件数，y为乙产品的件数。
于是有MAX=2x+3y
又4x<=16;
4y<=12.
x+2y<=8;
x>0
y>0
2)如下图所示：
由约束条件可以画出可行域，在画出的可行域的基础上和目标函数z=2x+3y分析可得（4,2）是目标函数的最值点，故
MAXz=2x+3y=2*4+3*2=14
3) MAX=2x+3y
St 4x<=16;
4y<=12.
x+2y<=8;
x>0
y>0
4)
Lingo程序
model:
max=2*x+3*y;
4*x<=16;
4*y<=12;
x+2y<=8;
x>0;
y>0
end
程序运行结果可知当生产甲种产品4件，乙种产品2件时，该工厂获利最多，最大获利为14元。
4.模型特点
（1）本次模型主要运用的是线性规划模型，线性规划模型由目标函数，约束条件组成，其中目标函数可以求最大化，也可以求最小化，约束条件由资源约束和自然约束组成，也可以求最小化；约束条件由资源约束和自然约束组成，资源约束条件可以是大于等于，小于等于，或严格等于，自然约束条件常称为非负约束
（2）线性规划模型的优点在于有统一的算法，任何线性问题都能求解，不过它未必是最精确的算法.而且线性规划模型求解模型类型比较少，求解范围比较狭小。
1-31 2(1-28,2-12) 3(1-21,2-24) 4()。