基础与提高题4-1 求下列各信号的傅里叶级数表达式。
(1)j200e t (2) []cos π(1)/4t - (3) t t 8sin 4cos + (4) (5) ()f t 是周期为2的周期信号，且()e ,11t f t t -=-<< (6) ()f t 如题图4-1(a)所示。
题图4-1(a)(7) []()()1cos 2πcos 10ππ/4f t t t =++⎡⎤⎣⎦(8) ()f t 是周期为2的周期信号，且(1)sin 2π,01()1sin 2π,12t t t f t t t -+<<⎧=⎨+<<⎩(9) ()f t 如题图4-1(b)所示。
题图4-1(b)(10) ()f t 如题图4-1(c)所示t t 6sin 4cos +题图4-1(c)(11) ()f t 如题图4-1(d)所示题图 4-1(d)(12) ()f t 是周期为4的周期信号，且sin π,02()0,24t t f t t ≤≤⎧=⎨≤≤⎩(13) ()f t 如题图4-1（e ）所示题图4-1(e)(14) ()f t 如题图4-1(f)所示题图4-1(f)4-2 设()f t 是基本周期为0T 的周期信号，其傅里叶系数为k a 。
求下列各信号的傅里叶级数系数（用k a 来表示）。
（1）0()f t t - （2）()f t -（3）*()f t （4）()d t f z z -∞⎰ （假定00=a ）（5）d ()d f t t（6）(),0f at a > （确定其周期）4-3 求题图4-3所示信号的傅里叶变换（a ） （b ） （c ） （d ）题图4-3 4-4 已知信号()f t 的傅里叶变换为()j F ω，试利用傅里叶变换的性质求如下函数的傅里叶变换（1）()3t f t ⋅ （2）()()5t f t -⋅ （3）()()d 1d f t t t-⋅（4）()()22t f t -⋅- 4-5 已知信号()f t 如题图4-5（a ）所示，试使用以下方法计算其傅里叶变换（a ） （b ）题图 4-5（1）利用定义计算()j F ω；（2）利用傅里叶变换的微积分特性计算；（3）()u u u u 2244f t t t t t ττττ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，利用常用信号()u t 的傅里叶变换及傅里叶变换的线性特性及时移特性计算()j F ω；（4）()()()11f t f t f t =+-（()1f t 如题图4-5（b ）所示），先计算()1j F ω，然后利用尺度变换性质计算()j F ω；（5）()()()/2f t g t g t ττ=+，利用门函数的傅里叶变换及傅里叶变换的线性特性()j F ω；（6）()()/2/4/433288f t g t g t g t τττττ⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用门函数的傅里叶变换和傅里叶变换的线性特性及()j F ω时移特性计算()j F ω。
4-6求下图信号的傅里叶变换图4-64-7求如图所示锯齿脉冲的傅立叶变换。
图4-74-8 设()j ωF 表示题图4-8所示信号的傅里叶变换。
图4-8（1）求()j ωF 的相位； （2）求()0F （3）求()j d ωω∞-∞⎰F （4）计算()j22sin j e d ωωωωω∞-∞⎰F（5）计算()2j d ωω∞-∞⎰F4-9 题图4-9为()F j ω的幅度特性和相位特性，求 ()F j ω的傅里叶逆变换()f t 。
（a ） （b ）图4-94-10 求如图4-10所示三脉冲信号的频谱。
图4-104-11已知()()()2f t F j E Sa ωτ↔ω=τ，求(25)f t -的频谱密度函数。
4-12 求221()(0)f t t αα=>+的傅里叶变换 ()F j ω，并求 121()1(1)1f t t =+-+的傅里叶变换1()F j ω。
4-13 求1t 、21t的傅里叶变换，并求t 的傅里叶变换。
4-14利用微分定理求题图4-15所示的半波正弦脉冲()f t 及其二阶导数22()d f t dt的频谱。
图4-144-15求下图三角函数的频谱密度函数。
2-2图4-15 4-16已知1()tF e t j αμαω-⎡⎤=⎣⎦+，（1） 求()()t f t te t αμ-=的傅里叶变换； （2） 证明()t t μ的傅里叶变换为21()()j j πδωω'+。
4-17已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅里叶变换：[]1()()F t j μπδωω=+， [][]000cos()()()F t ωπδωωδωω=++-，[][]000sin()()()F t j ωπδωωδωω=+--求单边正弦函数和单边余弦函数的傅里叶变换。
4-18求题图4-18所示信号的频谱函数。
tt(a)(c)(d)图4-184-19已知1()()FTt j μπδωω←−→+ ，求()t δ和()t δ'的傅里叶变换。
4-20以T 为周期的单位冲击串()T t δ是一类很重要的信号，其表达式为()()T n t t nT +∞=-∞δ=δ-∑ ，求()Tt δ的傅里叶变换。
图4-204-21 已知周期矩形脉冲信号()f t 的幅度为E ，脉宽为τ，周期为1T ，角频率为112T πω=。
如图所示。
求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数与傅里叶变换。
图 4-214-22已知周期冲激串为()(1)()4nn n p t t δ∞=-∞=--∑，求其傅里叶变换。
4-23设系统的微分方程为2222()3()2()()4()5()d d d d y t y t y t f t f t f t dt dt dt dt++=++ 若输入3()()t f t e t μ-=，试用傅里叶分析法求响应()y t 。
4-24 求下列信号的奈奎斯特间隔和频率（1）(90)Sa t （2）2(90)Sa t（3）(90)(50)Sa t Sa t + （4）2(100)(70)Sa t Sa t +4-25 若()f t 的频谱()F j ω如题4-25所示，利用卷积定理粗略画出，0()cos()f t t ω，0()j t f t e ω，1()cos()f t t ω的频谱（注明频谱的边界频率）。
图4-254-26已知矩形调幅信号()()()0cos,f t G t t ω=其中()G t 为矩形脉冲，脉冲幅度为E ，脉宽为τ，试求其频谱函数。
矩形调幅信号的波形图4-264-27 一个因果LTI 系统的输出()y t 与输入()f t 之间的关系为()()()d 2d y t y t f t t+=， （1）求系统的传递函数()()()j j /j H Y F ωωω=，并画出频谱特性图。
（2）若()()e u tf t t -=，求()j Y ω。
（3）求()y t（4）若输入()f t 的傅氏变换为下列各式，重复（2）、（3）小题求()y t 。
（4-1）()1j j 2j F ωωω+=+，（4-2）()2j j 1j F ωωω+=+，（4-3）()()()1j 2j 1j F ωωω=++4-28 由题图4-29所示的RLC 电路实现的LTI 因果系统，()f t 为输入电压，电容上的电压取为该系统的输出()y t 。
（a ）求关联()f t 和()y t 的微分方程； （b ）求系统对输入为()j e t f t ω=的频率响应； （c ）若()()sin f t t =，求输出()y t 。
(f t +-图 4-284-29 已知频率特性函数为：()()()()()()()34322j j 4j j 3j 2j 5j 2H ωωωωωωω++=++++，求其幅频特性和相频特性。
4-30（1）设()f t 的傅里叶变换为(j )F ω，而()p t 是基本频率为0ω，傅里叶级数的表示式为()0j e n t n n p t a ω+∞=-∞=∑的周期信号。
求()()()y t f t p t =⋅的傅里叶变换。
（2）假设()j F ω如题图4-30所示，对于下列各()p t ，试画出相对应的()y t 的频谱图。
图4-30（31-1）()()cos /2p t t = （31-2）()cos p t t = （31-3）()cos2p t t = （31-4）()()()sin sin 2p t t t = （31-5）()cos2cos p t t t =- （31-6）()()δπn p t t n +∞=-∞=-∑（31-7）()()δ2πn p t t n +∞=-∞=-∑（31-8）()()δ4πn p t t n +∞=-∞=-∑（31-9）()()()1δ2πδπ2n n p t t n t n +∞+∞=-∞=-∞=---∑∑4-31图4-31(a)示出一个抽样系统，其中调制频率0121()2ωωω=+，低通滤波器的截止频率211()2c ωωω=- 。
输出信号的频谱如图4-31(b)所示：f 0()()δ=-∞=-∑n p t t nT图4-31（a ）2112图4-31（b ）（1）画出该系统的输出信号()p f t 恢复原信号()f t 的频谱()p F j ω； （2）确定可以从()p f t 恢复原信号()f t 的最大抽样周期。
工程题:4-32信号通过非线性系统所产生的失真称为非线性失真。
其特点是在输出信号中产生了原信号中所没有的或新的频率成分。
题图4-32（b ）所示为一非线性电路，其输入信号()f t （题图4-32（a ）所示）为单一正弦信号，其中只含有0f 的频率成分，经过该系统的非线性元件——二极管（理想器件，其阈值电压设为0伏）后得到半波整流信号（题图4-32（c ）所示），在波形上产生了失真，试计算输出信号()y t 的傅里叶级数表示式，画出其幅度谱图。
从幅度谱中，可看出输出信号产生了由无穷多个0f 的谐波分量构成的新频率。
+--(f t ()y t（a ）（b ） （c ）题图4-32非线性失真4-33 由题图4-33所示的RL 电路实现的LTI 因果系统，电流源输出电流为输入()f t ，系统的输出为流经电感线圈的电流()y t 。
（a ）求关联()f t 和()y t 的微分方程；（b ）求系统对输入为()j e t f t ω=的零状态响应； （c ）若()()cos f t t=，求输出()y t(f t 1Ω-题图 4-334-34 由题图4-34所示的RLC 电路实现的LTI 因果系统，()f t 为输入电压，电容上的电压取为该系统的输出()y t 。