限时训练（一）答案部分13. 160- 14.18-15. 283π16. 32 解析部分1. 解析 由题意可得{|21}M x x =-<<-，{|2}N x x =-…，所以{|2}MN x x =-….故选A.2.解析2i 2i (1i )1i 1i (1i)(1i)-==+++-.故选D. 3. 解析 当直线与平面有一个交点时，直线也有无数个点不在平面内，所以②错. 随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，所以(1)0.5P ξ<=，由正态分布的图形知(01)(2)(1)0.3P P P ξξξ<<=<-<=,所以③错.故选D.4. 解析 由题意知双曲线的一条渐近线方程为12y x =-，即12b a =； 一个焦点坐标为(5,0)-，即5c =.由222512a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得b a ==所以双曲线方程为221205x y -=.故选A. 5. 解析 将ˆ9.4b=，研发费用为6万元时，利润为65.5万元代入ˆˆˆy bx a =+， 得a ^＝9.1，由统计数据计算得x ＝3.5，所以y ＝42，求得54m =.故选A. 6. 解析 因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =.由正弦定理可得sin sin b AB a=， 所以sin sin b Abb B ac c=2sin b A ac =sin A ==.故选D. 7. 解析 由三视图可得该几何体是一个直三棱柱，如图所示.解法一:3个侧面的面积为2(1S=侧，由余弦定理可以求得底面的钝角为34π，所以一个底面三角形的面积为1311242Sπ=⨯=底，所以总面积为2S底+S侧=122(132⨯+=+故选D.解法二:侧面积同解法一.由左视图中的1得棱锥的底面三角形的高为1,所以一个底面三角形的面积为111122S=⨯⨯=底,所以总面积为2S底+S侧=3+故选D.8.解析解法一：不等式组满足的可行域，如图中所示的阴影部分.当0x…时，122zy x=-+表示的是斜率为12-，截距为2z的平行直线系，当过点(1,5)时，截距最大，此时max12511z=+⨯=；当0x<时，122zy x=+表示的是斜率为12，截距为2z的平行直线系，当过点(4,5)-时，截距最大，此时max4z=+25⨯=14.综上所述，max14z=.故选D.解法二：画出满足不等式组的可行域，如图所示.联立510y x y =⎧⎨+-=⎩，解得54y x =⎧⎨=-⎩，即()4,5A -.目标函数2z x y =+变形为22x zy =-+， 由图可知当曲线22xzy =-+经过点A 时，2z 取得最大值.所以max52414z =⨯+=.故选D.9. 解析 由程序框图可知，第一次循环为：2,5,5x y i =-==；第二次循环为：1,4,4x y i =-==；第三次循环为：0,3,3x y i ===； 第四次循环为：1,2,2x y i ===；第五次循环为：2,1,1x y i ===； 第六次循环为：3,0,0x y i ===.此时循环结束.可得打印点依次为：()3,6-，()2,5-，()1,4-，()0,3，()1,2，()2,1.可知在2210x y +=内的打印点有()0,3，()1,2，()2,1，共3个.故选B.10. 解析 函数()x f 在1-=x 处取得极大值，所以()10f '-=.且当1x <-时，()0f x '>，所以()0y xf x '=<；当1x >-时，()0f x '<，所以当10x -<<时，()0y xf x '=>. 观察选项可知D 正确.故选D.11. 解析 由2e =，可得b a ====．由2b y x ap x ⎧=±⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，求得(,)22p bp A a -，(,)22p bp B a --，所以122AOB bp pS a =⨯⨯=△将ba=24p =，解得2p =，所以(A -，(1,B -，则AOB △的三边长分别为2，2， 设AOB △的内切圆半径为r，由1(222r ++=解得3r =．故选C ． 12. 解析 设[)0,2x ∈时，函数为()1f x ，，[)22,2x n n ∈-，函数为()n f x .当[)0,2x ∈时，()221()2(2)212f x x x x =--=--+． 可知()1f x 在[)0,2上的最大值12a =.由递推式()()22f x f x =+，可得()n f x 的最大值122n n a -=.所以数列{}n a 是以2为首项，12为公比的等比数列， 所以21212141212n n n S -⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--．故选B ． 13. 解析 由题设知66e e 6111d ln ln e ln16n x x x===-=⎰，所以6的二项展开式的通项为：616C (rr r r T -+==636C 2(1)rr r r x --⋅-. 当3r =时为常数项，故常数项为3336C 2(1)160-=-.14. 解析 因为向量a 与向量b 的夹角为120，所以b 在a 上的投影为1||cos120||2=-b b ，问题转化为求||b ， 因为()(2)+⊥-a b a b ，所以()(2)0+⋅-=a b a b ，即22||||40--=b b .故||=b ，所以b 在a上的投影为. 15. 解析 设球心为O ，半径为R ，O 到底面的距离为h ，由于PDA △则222)1h h +=+，化简得3h =，所以22273R h =+=， 则P ABCD -的外接球表面积为24S R =π=283π. 16. 解析 由题意作图，如图所示.由题意知当ln y x x =+的切线与2(1)y x =+平行时AB 距离最短．()11f x x'=+，令()2f x '=，得1x =，所以切线的方程为12(1)y x -=-.两直线的距离为d ==，所以3.sin 2d AB θ==高难拉分攻坚特训(一)1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)答案 D解析 由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P，所以⎩⎨⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D.2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．答案 －1解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，∴2a n ＋1－2＝24a n －4a n －2＝a n a n －2＝1＋2a n －2，又2a 1－2＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n －2是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2a n －2＝1＋n －1＝n ，a n －2＝2n ，令b n ＝(a n －2)(a n ＋1－2)＝2n ·2n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1. 若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m . 易知f (n )＝4nn ＋1在[3，＋∞)上是增函数， ∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围． 解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)， 故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AM 的斜率为k ， 因为∠MAF ＝∠NAF ，所以AM ，AN 关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为－k ， 易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，所以直线AM 的方程是y －32＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0， 所以x 1＝－4k 2－12k ＋33＋4k 2，将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋33＋4k 2，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]x 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2＋2－24k 3＋4k 2＝－12，所以直线MN 的方程是y ＝－12x ＋d ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0， 所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0， 解得－2<d <2，又因为MN 在A 点下方， 所以－1×12＋32>d ⇒d <1， 所以－2<d <1.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ，∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点； 当a ＝12时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ，由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点．综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0. 当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0， 即a ≤e x －x 2－1x 对任意的x >0恒成立．设g (x )＝e x －x 2－1x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x －1)x 2.设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1. ∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e －2， ∴实数a 的取值范围是(－∞，e －2]．。