二次函数的最值问题举例(附练习、答案)
二次函数y = ax
2
bx c (a = 0)
是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础. 在初
x取任意实数时的最值情况(当a ■ 0时，函数在
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题.同时
还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.
2
【例1】当-2弐x玄2时，求函数y=x -2x-3的最大值和最小值.
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值.
解：作出函数的图象.当x=1时，y mi n =-4，当x=-2时，y max=5.
【例2】当1^x^2时，求函数y =-X2「x T的最大值和最小值.
X = 1 时，y min = T ,当X = 2 时，y max = 一5 .
由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异.下面给出一些常
见情况：
【例3】当x - 0时，求函数y = -x(2 - x)的取值范围.
中阶段大家已经知道：二次函数在自变量
b
2a
处取得最小值
4ac - b2
4a
，无最大值；当 a c 0时，函数在x = -亠-处取得最大值
2a
4ac -b2
4a
无最小值.
解：作出函数的图象.当
解：作出函数y =-x(2 - x) n x? — 2x在x_0内的图象.
可以看出：当x = 1时，ymin - -1，无最大值.
所以，当X _ 0时，函数的取值范围是y _ -1 .
1 25
【例4】当t <x <t 1时，求函数y x「x 的最小值(其中t为常数).
2 2
分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置.
1 25
解：函数y x2-X 的对称轴为x=1 .画出其草图.
2 2
1 25
(1)当对称轴在所给范围左侧•即t 1时：当X = t时，『min t -t-
2 2
⑵当对称轴在所给范围之间•即t乞1乞t • 1 = 0乞t乞1时：
1 25
当X=1 时，『min -1—? = 一3 ；
⑶当对称轴在所给范围右侧.即t • 1 ：：： 1= t ：：： 0时：
1 2 5 1 2
当X=t 1 时，y min —(t 1) -(t 1)—?=?t -3 .
1 2
—t —3,t < 0
2
综上所述：y二-3,0乞t乞1
-1 -5,t A1
.2 2
在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：
【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量
与每件的销售价x(元)满足一次函数m =162 -3x,30 _ x _ 54 .
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；
(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x-30)元，
m (件)
那么m件的销售利润为y = m(x - 30)，又m = 162 - 3x .
2
y = (x - 30)(162 - 3x)二-3x 252x - 4860,30 - x - 54
(2)由⑴知对称轴为x=42，位于x的范围内，另抛物线开口向下
.当x=42 时，y max - -3 421 2252 42 -4860 =432
•当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元.
A 组
2
1.抛物线y =x —(m —4)x +2m -3，当m = _________ 时，图象的顶点在y轴上；当m = _______ 时, 图象的顶点在x轴上；当m = _____ 时，图象过原点.
2•用一长度为I米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _______ .
3.求下列二次函数的最值：
2
(1) y = 2x -4x 5 ；(2) y = (1 - x)(x 2).
2
4.求二次函数y = 2x -3x - 5在-2 _ x _ 2上的最大值和最小值，并求对应的x的值.
2
5•对于函数y =2x • 4x -3，当x _0时，求y的取值范围.
6.求函数y = 3 —€5x —3x —2的最大值和最小值.
7 .已知关于x的函数y = x2• (2t T)x • t2-1，当t取何值时，y的最小值为0 ?
B 组
2
1 当a - -1时，求函数的最大值和最小值；
2 当a为实数时，求函数的最大值.
2.函数y =x2• 2x 3在m^x乞0上的最大值为3，最小值为2,求m的取值范围.
2
3 .设a • 0,当-1乞x乞1时，函数y x - ax b 1的最小值是-4，最大值是0,求a,b的值.
4.已知函数y = x2 2ax 1在-1空x乞2上的最大值为4,求a的值.
2
5.求关于x的二次函数y=x -2tx 1在-1辽x^1上的最大值(t为常数).
1 .已知关于x的函数y =x2• 2ax • 2在-5辽x乞5上.
第五讲二次函数的最值问题答案
y
min
- 0 •
(1)当 X =1 时，Y min =1 ；当 X 「-5 时, ⑵当 a - 0 时，Y max =27
10a ；当 a 0 时，Y max =27 —10a •
一2空m 乞一1 • a =2,b 一2 •
1
a 或 a - -1.
4
1
2
3 4
5
6
7
1
2
3 4
4 14或 2,
I 2 2 —m 16
(1)有最小值 3, 无最大值；(2)有最大值
9
-，无最小值•
4 --5
时,
Y min
3 ；当x 「2时, 8
Y max =19 •
y
min
2
i 或 1 时，Ymax
y
max
- 37 •
5.当t <0时，y max =2 —2t，此时X = 1 ；当t 0 时，y max =2 • 2t，此时X = -1 .。