上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况：z f [( x, y), ( x, y)].
第八章
例3 设 z f ( x2 y2 ,xy ), f 可微，求 z , z .
x y 解：令u x2 y2 ,v xy
z z u z v x u x v x
2x z y z u v
z z u z v y u y v y
2 y z x z u v
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
一、链式法则
第八章
定理 如果函数 u (t ) 及v (t ) 都在点t 可
导，函数 z f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏
导数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
第八章
类似地再推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、
w w(x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y的偏导数，
复合函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点
( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x z
第八章
例1 设 z ln( 2v 3u ),u 3x2 ,v sin x,求 dz . dx
解： dz z du z dv dx u dx v dx
3 6 x 2 cos x 2v 3u 2v 3u
18x 2 cos x 2 sin x 9x2
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
z f u f . y u y y
别 类 似
把 z f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱu, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
第四讲
多元函数求导法则
链式法则 隐函数定理
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
教学目标：
1. 掌握复合函数的求导法则； 2. 会用链式法则求导； 3. 会求隐函数的偏导数。 教学重点：会用链式法则求导。 教学难点：全微分的不变性。 教学方法：类比法，讲授法 课时安排：2 课时
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
第八章
1. F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点P( x0 , y0 )的
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
u du , t dt
v dv , t dt
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
dz lim z z du z dv . dt t0 t u dt v dt
如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)在对应
点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ，
第八章
例2
设z
arctan v ,u u
x2
y2 ,v
xy,求 z , z . x y
解： z z u z v x u x v x
2 xv v2 u2
v2
yu u2
z z u z v y u y v y
2 yv v2 u2
xu v2 u2
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
z
z
u
z
v
.
x u x v x y u y v y
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
上页 下页 返回
第八章
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z
z
u
z
v
z
w
.
y u y v y w y
u v w
x
y
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
z f u f , x u x x
第八章
例
4
设z
f(x
y,x2
y2
), f 可微，求 z , z . x y
解： z x
f1( x
y )x
f2 ( x2
y2
)x
f1 2xf2
z y
f1( x
y )y
f2 ( x2
y2
)y
f1 2 yf2
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
二、隐函数的偏导数