z
exy [ y sin(x y) cos(x y)]
v
y
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy [x sin(x y) cos(x y)]
多元复合函数的求导法 则
思考题. 设 u f x , y , 求 u , u , u .
一个自变量的情形
因变量z到自变量x的路径有：
z z
u.
x
z du u dx
v. x z dv v dx
du
相加得 dz dx
z u dx
u
z
dv
z
dx
v
v
x x
注 (1) “连线相乘，分线相加” (2) 外层函数可微，内层函数可导.
多元复合函数的求导法则
多个自变量的情形（两个为例）
定理2 设函数 u u x, y ，v v x, y 在点 x, y D 处可微
• 一个自变量的情 形
• 多个自变量的情 形
多元复合函数的求导法则
一个自变量的情形
定理1.若函数u x ,v x 在点 x 可导，z f u,v
在点 u,v 处可微，则复合函数z f x,x在点x可导
且有
dz z du z dv dx u dx v dx
( 全导数公式 )
多元复合函数的求导法 则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
ux zvy
w
多元复合函数的求导法 则
例1.设 z uv sin t , u et , v cost , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du z dv z
y z x y z
dt u dt v dt t
u
v et u sin t cost
zv
t
t
e t (cost sin t) cost
多元复合函数的求导法
则
例2.
设
z
eu
sin v , u
xy , v
x
y,
求
z
,
z
.
x y
解:
z z u z v x u x v x
u
x
eu sin v y eu cosv 1
第九章 多元函数微分学
多元复合函数关系图 与求导法则
多元复合函数关系图与求导法 则
一元复合函数的求导法则
设 y f u ，u x， y f x
则 dy dy du =f ux
dx du dx
dy
du
因变量 y du
dx u
x 自变量
中间变量
一元复合函数的求导的链式法则
多元复合函数的求导法则
函数 z f u,v 在对应的点 u,v=x,y ,x,y 处可微
则复合函数 z f ux, y ,v x, y 在点 x, y 处可微,且有
z z u z v ， x u x v x z z u z v . y u y v y
“连线相乘，分线相加”
多元复合函数的求导法 则
1) z f u,v,w,u x,v x ,w x
求全导数
dz z du z dv z dw dx u dx v dx w dx
=f1 f2 f3
u
zv
x
w
多元复合函数的求导法 则
2) z f u,v, w u (x, y) 、v (x, y) 、w (x, y)
求z关于x,y的偏导数.
多个自变量的情形（两个为例）
因变量z到自变量x的路径有：
z
u
x z u
u x 相加得 z
z
v
x z v
x
v x
u
z
u u
x
x
z
z v
v
y
v x
z z u z v ， x u x v x z z u z v . y u y v y
“连线相乘，分线相加”
多元复合函数的求导法 则
推广: 设下面所涉及的函数都可微.