i
多元复合函数导数链式法则的矩阵表示
∂z ∂z ∂z ∂z ∂z ,L , ) ( , ,L , )=( ∂ y1 ∂ ym ∂x ∂x2 ∂xn 1
y1 x1 y2 x1 M ∂ ym ∂ x1 ∂ ∂ ∂ ∂ y1 x2 y2 x2 M ∂ ym ∂ x2 ∂ ∂ ∂ ∂ L L O L y1 xn y2 xn M ∂ ym ∂ xn ∂ ∂ ∂ ∂
grad ( f o g )( x) = gradf ( y ) J g ( x)
用导数记号表示： 用导数记号表示：
( f o g ) '( x) = f '( y )
y=g ( x)
g '( x).
例. 设
极坐标系下的形式 解: 已知
二阶偏导数连续,求下列表达式在
,则
u
∂u ∂u ∂r = (1) ∂x ∂r ∂x
在何条件下复合函数可偏导？ 在何条件下复合函数可偏导？ 偏导数如何计算？ 偏导数如何计算？
讨论的是偏导数，先假设g是一元二维函数
设函数
z = f (x, y)
讨论复合函数
处可微 ( x = x (t ) , y = y(t ) ) 关于 t 可导性
定理. 定理 若函数 处可微, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则
u
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结束
又如, z = f (x, v), 其 v =ψ (x, y) 中 当它们都具有可微条件时, 有
z= f
∂z ∂ f = ∂x ∂x
∂z ∂y
′ ′ = f1′ + f2ψ1
′ ′ = f2ψ2
x
v
x y
∂z ∂ f 不同, 注意: 注意 这里 与 ∂x ∂x ∂z ∂f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 ∂x ∂x
n m
( f o g ) '( x) = f '( y )
grad ( f1 o g )( x) = gradf1 ( y ) J g ( x)
y=g ( x)
grad ( f 2 o g )( x) = gradf 2 ( y ) J g ( x)
g '( x)
o m元 grad((yf)1 是g )( x)k维向量值函数呢？ J ( x) gradf1 ( y ) 如f grad ( f o g )( x) = gradf ( y ) g 2 2
∂x ∂v ∂y ∂v
推广到一般多元复合函数
设 f : D f ⊂ R → R, z = f ( y1 , y2 ,L, ym ),
m
g : Dg ⊂ R → R : ( x1 , x2 ,L, xn ) a ( y1 , y2 ,L, ym ),
n m
为区域 Dg ⊂ R 上的 n元 m 维向量值函数 ,
∂u u ∂x
2
2 ∂u 2 sinθ cosθ ∂u sin θ + + ∂r r ∂θ r2
∂2u ∂x2
同理可得
∂u 2sinθ cosθ ∂u sin2 θ + + 2 ∂ ∂r r θ r
2 2 2 ∂2u ∂2u 2 ∂ u sinθ cosθ ∂ u cos θ sin θ + 2 + 2 2 = 2 θ ∂r∂ r ∂y ∂r ∂θ r2 ∂u 2sinθ cosθ ∂u cos2 θ − + 2 θ ∂ ∂r r r 2 1 ∂2u ∂2u ∂2u ∂ u + 2 2 ∴ 2+ 2 = 2 ∂r r ∂ θ ∂x ∂y 1 ∂ ∂u ∂2u = 2 [ r (r ) + 2 ] ∂r ∂r ∂ θ r
+ e cos v dv
u
d (xy)
(yd x + xdy)
d (x+ y) (dx + dy) dy
= e [ y sin(x + y) + cos(x + y)]d x
xy
所以Байду номын сангаас
对一般多元函数，全微分同样具有形式不变形。 对一般多元函数，全微分同样具有形式不变形。 形式不变形
设 z = f ( y1 , y2 ,L , ym ),
例. 设 z = eu sin v, u = xy , v = x + y , ∂z ∂z 求 , . ∂x ∂y ∂z ∂z ∂v + ⋅ 解: ∂x ∂v ∂x
= eu sin v
+ eu cos v ⋅1
z
u v
∂z ∂y
u
∂z ∂v + ⋅ ∂v ∂y
x yx y
= e sin v
+ e cos v ⋅1
二、一阶全微分形式不变性
设函数 都可微, 则复合函数 z = f (ϕ (x, y) ,ψ (x, y))的全微分为 ∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y ∂z ∂u ∂z ∂v + ( ⋅ + ⋅ ) dy ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v ( dx + dy ) ( dx + dy ) ∂x ∂y ∂x ∂y
r θ
x yx y
y (当θ在二、三象限时, θ = arctan + π ) = cos θ , x
∂u ∂u sinθ = cosθ − ∂r ∂θ r
∂u ∂u ∂r ∂u ∂θ = + ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y
∂u ∂u cosθ = sinθ + ∂r ∂θ r ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2 1 ∂u 2 ∴ ( ) + ( ) =( ) + 2 ( ) ∂x ∂y ∂r r ∂θ
n
如果g的值域g (Gg ) ⊂ D f , 则可得复合函数
z = f o g = f ( y1 ( x1 ,L xn ),L, y m ( x1 ,L, xn )).
设g 可导, f 可微, 则复合函数可导, 且
z xi = z y1 y1xi + z y2 y2 xi + L z ym ymx , i = 1, 2,L , n.
z = f (x, y)
的可微性减弱为可偏导时，结论是否成立？ 的可微性减弱为可偏导时，结论是否成立？
xy , x2 + y2 ≠ 0 2 2 例如: 例如 z = f (x, y) = x + y 0, x2 + y2 = 0
2
x =t , y =t
易知:
t 但复合函数 z = f (t, t ) = 2
设g 可导, f 可微, 则复合函数可导, 且
( f o g ) '( x) = f '( y )
y=g ( x)
g '( x).
f1 ( y ) 是 m 元二维向量值函数 设 f ( y) = f2 ( y)
g : Dg ⊂ R → R : ( x1 , x2 ,L, xn ) a ( y1 , y2 ,L, ym ),
g : Dg ⊂ R → R :
n m
g (Gg ) ⊂ D f ,
y为自变量时，
z = f o g.
dz = f ′( y )dy = ( f o g )′( x)dx = f '( y ) g '( x)dx. = f ′( y )dy
y为中间变量时， dz
高阶微分形式不具有 形式不变形
一元复合函数 求导法则 一阶微分形式不变性
对多元复合函数成立吗？ 多元复合函数成立吗？
复合函数
设z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D f ⊂ R 2
Dg
设 g : Dg → R
2
g
f
f og
可构造复合函数
Df
R
z = f o g = f [ x(u, v), y (u, v)], (u , v) ∈ Dg
1 ∂r y ∂θ cosθ x = = sinθ , = = y 2 ∂y r ∂ y 1+ ( x ) r
u
r θ
x y x y
∂u ∂u ∂u sinθ 已知 = cosθ − ∂x ∂r ∂θ r
∂2u
∂ ∂u sinθ ∂ ∂u ∂ ∂u r θ ) (2) = ( )) ⋅cosθ − ( = ( r ∂θ ∂x ∂x2 ∂r ∂x ∂x ∂x x yx y ∂ ∂u ∂u sinθ = ( cosθ − ) ⋅ cosθ 注意利用 ∂r ∂r ∂θ r 已有公式 ∂u sinθ sinθ ∂ ∂u − ( cosθ − )⋅ ∂θ r ∂θ ∂r r
z = f (x, y)
dz ∂ z dx ∂ z d y = ⋅ + ⋅ dt ∂x dt ∂ y dt
由此立即可得到定理12.2.1. 由此立即可得到定理
定理. 定理 若函数
z = f (x, y)
处可微, 则复合函数
，且有链式法则 链式法则
∂z ∂z ∂x ∂z ∂ y = ⋅ + ⋅ ∂u ∂x ∂u ∂ y ∂u ∂z ∂z ∂x ∂z ∂ y = ⋅ + ⋅ ∂v ∂x ∂v ∂ y ∂v
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性 全微分形式不变性. 全微分形式不变性
例 . z = eu sin v, u = xy , v = x + y , 求 解: dz = d( e sin v )
u
∂z ∂z , . ∂x ∂y