第3讲 平面向量1.已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ⊥(2a ＋b )，则k 等于( ) A.－8 B.－6 C.6 D.8 答案 A解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，∴2a ＋b ＝(3,2＋k )， ∵a ⊥(2a ＋b )，则a ·()2a ＋b ＝6＋2＋k ＝0， 解得k ＝－8.2.若平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且a ＝⎝⎛⎭⎫12，32，||b ＝25，则||a ＋b 等于( )A.5B.3 2C.18D.25 答案 A解析 ∵a ＝⎝⎛⎭⎫12，32，∴|a |＝1，又a ·()a ＋b ＝3⇒||a 2＋a ·b ＝3⇒a ·b ＝2， ∴(a ＋b )2＝||a 2＋2a ·b ＋||b 2＝1＋4＋20＝25， ∴||a ＋b ＝5.3.如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A.－12B.12 C.－14D.14答案 A解析 由题意知CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝⎛⎭⎫12CB →＋CA → ＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.4.已知||a ＝1，||b ＝3，且a ⊥⎝⎛⎭⎫a ＋23b ，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3 答案 B解析 ∵ a ⊥⎝⎛⎭⎫a ＋23b ， ∴ a ·⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＝0， 即a 2＋23a ·b ＝0.又||a ＝1，∴ a ·b ＝－32，∴向量a 与向量b 的夹角的余弦值为cos 〈a ，b 〉＝a ·b ||a ||b ＝－321×3＝－32，又∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴向量a 与向量b 的夹角为5π6. 5.在Rt △ABC 中，点D 为斜边BC 的中点，|AB |＝8，|AC |＝6，则AD →·AB →等于( ) A.48 B.40 C.32 D.16 答案 C解析 因为点D 为斜边BC 的中点， 所以AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AD →·AB →＝12(AB →＋AC →)·AB →＝12AB →2＋12AC →·AB →， 又Rt △ABC 中，AC ⊥AB ， 所以AD →·AB →＝12AB →2＝12|AB →|2＝32.6.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，且a －b 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是( ) A.(0,2) B.(－∞ ,2)C.(－2,2)D.(－∞，0)∪(2，＋∞)答案 D解析 a －b ＝()0，2－m ，由于a －b 与b的夹角为钝角，由夹角公式得()a －b ·b ||a －b ·||b ＝2m －m 2||2－m ·1＋m2<0，即2m －m 2<0，解得m <0或m >2.当向量a －b ，b 共线时，0·m －()2－m ·1＝0，m ＝2，此时a －b ＝()0，0，与b 的夹角不是钝角，不合题意.故m 的取值范围是m <0或m >2.7.已知点O 是△ABC 内部一点，且满足OA →＋OB →＋OC →＝0，又AB →·AC →＝23，∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( ) A.32B.3C.1D.2 答案 C解析 因为OA →＋OB →＋OC →＝0， 所以O 为△ABC 的重心，所以△OBC 的面积是△ABC 面积的13，因为AB →·AC →＝23，所以|AB →|·|AC →|cos ∠BAC ＝23， 因为∠BAC ＝60°， 所以|AB →|·|AC →|＝43，所以S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，所以△OBC 的面积为1.8.在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →的值为( )A.1B.52C.83 D.5答案 D解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.∵AB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴A ⎝⎛⎭⎫12，32.设C (a ,0).∵AC →·AB →＝－1，∴⎝⎛⎭⎫a －12，－32·⎝⎛⎭⎫－12，－32＝－12⎝⎛⎭⎫a －12＋34 ＝－1， 解得a ＝4.∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ， ∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC →＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12，32＋(4，0)＝⎝⎛⎭⎫32，36. ∴BO →·AC →＝⎝⎛⎭⎫32，36·⎝⎛⎭⎫72，－32＝5. 9.已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||P A →＋PB →＋2PC →的最大值为( ) A.2 3 B.3 3 C.4 3 D.5 3 答案 D解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ， 则圆的半径为332×12＝3， OA →＋OB →＋OC →＝0， 故P A →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →.||4PO →＋OC →2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75， 故||P A →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值.10.在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上，且CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12B.3－1C.3－32D.3＋12答案 A解析 ∵CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，∴A ，B ，D 三点共线，∴以点C 为坐标原点，AC ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系(图略)， 设AC ＝BC ＝1，则C (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，直线AB 的方程为x ＋y ＝1，直线CD 的方程为y ＝3x ， 联立解得x ＝3－12，y ＝3－32，故D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，3－32， 故CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，3－32，CA →＝(1,0)，CB →＝(0,1)， 故tCA →＋(1－t )CB →＝(t ,1－t )，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，3－32＝(t ,1－t )，故t ＝3－12. 11.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP |的最小值为( )A. 2B. 3C.3D.43答案 B解析 设||AB →＝3a ，||AC →＝b ， 则△ABC 的面积为12×3ab sin π3＝23，解得ab ＝83，由AP →＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →，且C ，P ，D 三点共线，可知m ＋34＝1，即m ＝14，故AP →＝14AC →＋34AD →.以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点，过A 作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ()0，0，D ()2a ，0， B ()3a ，0，C ⎝⎛⎭⎫12b ，32b ，则AC →＝⎝⎛⎭⎫12b ，32b ，AD →＝()2a ，0，AP →＝⎝⎛⎭⎫18b ＋32a ，38b ，则||AP →2＝⎝⎛⎭⎫18b ＋32a 2＋⎝⎛⎭⎫38b 2 ＝164b 2＋94a 2＋38ab ＋364b 2＝116b 2＋94a 2＋1 ≥2116b 2×94a 2＋1＝34ab ＋1＝3. ⎝⎛⎭⎫当且仅当116b 2＝94a 2即b ＝6a 时取“＝”故||AP 的最小值为 3.12.已知点O 是锐角△ABC 的外心，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，A ＝π4，且cos B sin C AB→＋cos C sin BAC →＝λOA →，则λ的值为( ) A.22 B.－22C. 2D.－ 2 答案 D解析 如图所示，O 是锐角△ABC 的外心，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，且OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，设△ABC 外接圆半径为R ，则|OA →|＝R ，由图得，OA →＝OD →＋DA →， 则AB →·OA →＝AB →·(OD →＋DA →)＝AB →·DA → ＝AB →·⎝⎛⎭⎫－12AB →＝－12AB →2＝－12|AB →|2， 同理可得，AC →·OA →＝－12|AC →|2，由cos B sin C AB →＋cos C sin BAC →＝λOA →得， cos B sin C AB →·OA →＋cos C sin B AC →·OA →＝λOA →2， 所以－12·cos B sin C |AB →|2－12·cos C sin B |AC →|2＝λOA →2，则cos B ·|AB →|·||AB →sin C ＋cos C ·|AC →|·||AC→sin B＝－2λ|OA →|2，①在△ABC 中，由正弦定理得||AB →sin C ＝||AC →sin B＝2R ，代入①得，2R cos B |AB →|＋2R cos C |AC →|＝－2λR 2， 则cos B |AB →|＋cos C |AC →|＝－λR ，②由正弦定理得，|AB →|＝2R sin C ，|AC →|＝2R sin B ， 代入②得，2R sin C cos B ＋2R cos C sin B ＝－λR ， 所以2sin(C ＋B )＝－λ，即2sin3π4＝－λ，解得λ＝－ 2. 13.已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(t ,2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则实数t ＝________. 答案 －2解析 向量a ＝(1，－1)，b ＝(t ,2)，a ＋b ＝(1＋t ,1)， a －b ＝(1－t ，－3)，根据(a ＋b )∥(a －b )得， －3(1＋t )＝1－t ，解得t ＝－2.14.已知向量a ，b 满足||a ＝5，||a －b ＝6，||a ＋b ＝4，则向量b 在向量a 上的投影为________. 答案 －1解析 |a |＝5，|a －b |＝6，|a ＋b |＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧36＝a 2－2a ·b ＋b 2，16＝a 2＋2a ·b ＋b 2，所以a ·b ＝－5，则向量b 在向量a 上的投影为a ·b ||a ＝－55＝－1.15.已知W 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝120°，设AW →＝λ1AB →＋λ2AC →，则2λ1＋λ2＝________. 答案 3解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示，根据已知条件可知A (0,0)，B (4,0)，C (－1，3).根据外心的几何性质可知W 在直线x ＝2上. AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，AC 的斜率为－3，故AC 中垂线的斜率为33， 故中垂线所在方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x ＋12，令x ＝2， 解得W ⎝⎛⎭⎫2，433. 由AW →＝λ1AB →＋λ2AC →，得⎝⎛⎭⎫2，433＝λ1()4，0＋λ2()－1，3， 解得λ1＝56，λ2＝43，所以2λ1＋λ2＝53＋43＝3.16.已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤255，22解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)， 设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝(2－2λ)2＋(2－4λ)2＝20⎝⎛⎭⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎡⎦⎤255，22.。