[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能[A 组 基础保分练]1．平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝12，(a ＋2b )·a ＝2，下列说法正确的是( )A ．a ⊥bB ．a 与b 同向C ．a 与b 反向D ．a 与b 夹角为60°解析：(a ＋2b )·a ＝1＋2×12×1×cos θ＝2，得cos θ＝1，所以θ＝0°，则a ，b 同向，故选B.答案：B2．(2020·吉林梅河月考)向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：因为(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以(a －2b )·a ＝0，(b －2a )·b ＝0，即a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0，所以b 2＝a 2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a ·b |a |2＝12.因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π3. 答案：B3．(2020·广东茂名联考)如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则AC →·BD →＝( )A ．2B ．3C ．6D ．12解析：AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(AD →－AB →)＝(AB →＋BC →)·(2BC →－AB →)＝2|BC →|2＋BC →·AB →－|AB →|2＝8＋2×2×12－4＝6.答案：C4．(2020·吉林长春一模)已知在边长为4的正方形ABCD 中，AE →＝12AB →，AF →＝14AD →，则CE →在CF →方向上的投影为( )A ．4 B.225 C ．2 5D.1155解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C (4,4)，E (2,0)，F (0,1)，所以CE →＝(－2，－4)，CF →＝(－4，－3)，则CE →在CF →方向上的投影为CE →·CF →|CF →|＝205＝4，故选A.答案：A5．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2. ∵|a |＝2|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为π3.故选B.答案：B6．(2020·辽宁丹东期末)边长为2的等边△ABC 所在平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝( )A ．－89B ．－49C.49D.89解析：∵CA →·CB →＝2×2×cos π3＝2，∴MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →)＝⎝⎛⎭⎫12CA →－13CB →·⎝⎛⎭⎫23CB →－12CA →＝13CA →·CB →－14|CA →|2－29|CB →|2＋16CA →·CB →＝23－14×22－29×22＋26＝－89，故选A.答案：A7．(2020·安徽省第二次联考)正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，A (0,0)，B (2,0)，则向量AE →在AC →方向上的投影为________．解析：设点C 在第一象限，则点C 的坐标为(2,2)，点E 的坐标为(2,1)，AC →＝(2,2)，AE →＝(2,1)，故AE →在AC →方向上投影为AE →·AC →|AC →|＝622＝322.答案：3228．(2020·河北六校第一次联考)已知向量a ＝(4，－2)，b ＝(x ，－1)，c ＝(3，－4)，若a ∥b ，则(a ＋b )·c ＝________.解析：因为a ∥b ，所以－2x ＝－4，解得x ＝2.所以a ＋b ＝(6，－3)，所以(a ＋b )·c ＝30. 答案：309．(2020·广东六校第一次联考)已知|a |＝3，|b |＝2，若(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是________．解析：设a 与b 的夹角为θ，由题意，得(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝3＋23cos θ＝0，所以cos θ＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案：150°[B 组 能力提升练]1．(2020·重庆巴蜀中学月考)已知向量a ＝(－2，m )，b ＝⎝⎛⎭⎫3，12m ，m ∈R ，则“a ⊥(a ＋2b )”是“m ＝2”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分与不必要条件解析：由已知得a ＋2b ＝(4,2m )，a ⊥(a ＋2b )等价于－2×4＋m ·2m ＝0，∴m ＝±2.先考虑充分性，m ＝±2成立不能推出m ＝2成立，所以“a ⊥(a ＋2b )”不是“m ＝2”的充分条件．再考虑必要性，m ＝2成立可以推出m ＝±2成立，所以“a ⊥(a ＋2b )”是“m ＝2”的必要条件．所以“a ⊥(a ＋2b )”是“m ＝2”的必要不充分条件．故选B.答案：B2．(2020·昆明市高三调研测试)已知平行四边形OABC 中，O 为坐标原点，A (2,2)，C (1，－2)，则OB →·AC →＝( )A ．－6B ．－3C ．3D ．6解析：在平行四边形OABC 中，OA →＝CB →，设点B 的坐标为(x ，y )，则OA →＝(2,2)，CB →＝(x －1，y ＋2)，所以x ＝3，y ＝0，OB →＝(3,0)，AC →＝(－1，－4)，所以OB →·AC →＝(3,0)·(－1，－4)＝－3.故选B.答案：B3．(2020·唐山市高三摸底考试)已知e 1，e 2是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1＋λe 2|的最小值为32，则|e 1＋e 2|＝( ) A ．1 B. 3 C ．1或 3D ．2解析：设向量e 1，e 2的夹角为θ，则e 1·e 2＝cos θ，因为|e 1＋λe 2|＝1＋λ2＋2λcos θ＝(λ＋cos θ)2＋1－cos 2θ，且当λ＝－cos θ时，|e 1＋λe 2|min ＝1－cos 2θ＝32，解得cos θ＝±12，故|e 1＋e 2|＝2＋2cos θ＝1或3，故选C.答案：C4．已知向量e 1，e 2，|e 1|＝1，e 2＝(1，3)，e 1，e 2的夹角为60°，则(e 1＋e 2)·e 2＝( ) A.355B.255 C ．5D. 5解析：因为e 2＝(1，3)，所以|e 2|＝2，所以(e 1＋e 2)·e 2＝e 1·e 2＋e 22＝1×2cos 60°＋4＝5.故选C.答案：C5．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|a －2b |＝2，则|b |＝( ) A ．4 B ．2 C. 2D ．1解析：|a －2b |2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝4－4×2×|b |cos 60°＋4|b |2＝4，解得|b |＝1或|b |＝0(舍去)，故选D.答案：D6．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，且a －b 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－∞，2)C ．(－2,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)解析：由a －b 与b 的夹角为钝角，即(a －b )·b ＝(0,2－m )·(1，m )＝m (2－m )＜0，解得m ＜0或m ＞2，此时a －b 与b 不可能共线，故选D.答案：D7．(2020·河北六校联考)已知|OA →|＝6，|OB →|＝23，∠AOB ＝30°，若t ∈R ，则|OA →＋tAB →|的最小值为( )A ．6B ．2 3C ．3D ．6－2 3解析：法一：依题意得|OA →＋tAB →|2＝|(1－t )OA →＋tOB →|2＝36(1－t )2＋12t 2＋36(1－t )t ＝12t 2－36t ＋36＝12⎝⎛⎭⎫t －322＋9≥9，当且仅当t ＝32时|OA →＋tAB →|取得最小值，最小值得3，选C. 法二：作AC →＝tAB →，连接OC ，则点C 在直线AB 上，|OA →＋tAB →|＝|OA →＋AC →|＝|OC →|，|OC →|的最小值即点O 到直线AB 的距离．在△OAB 中，AB ＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos 30°＝23＝OB ，∠BAO ＝30°，AB 边上的高为OB ·sin 60°＝3，即|OC →|的最小值为3，|OA →＋tAB →|的最小值是3，选C.答案：C8.在如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段BC 上的点，则AE →·DE →的最小值为( )A ．12B ．15C ．17D ．16解析：以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,4)，D (2,4)，设E (x,0)(0≤x ≤2)，所以AE →·DE →＝(x ，－4)·(x －2，－4)＝x 2－2x ＋16＝(x －1)2＋15，所以当x ＝1，即E 为线段BC 的中点时，AE →·DE →取得最小值，最小值为15，故选B.答案：B9．(2020·四省八校联考)若a ＝(1，－1)，a －2b ＝(k －1,2k ＋2)且a ⊥b ，则k ＝________. 解析：由题意，设b ＝(x ，y )，则a －2b ＝(1－2x ，－1－2y )＝(k －1,2k ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＝k －1，－1－2y ＝2k ＋2，解得⎩⎨⎧x ＝1－k2，y ＝－k －32，所以b ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2，－k －32，所以1－k 2＋k ＋32＝0，解得k ＝－5.答案：－510．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 解析：∵a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)， ∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4， |a |＝22＋22＝22，|b |＝(－8)2＋62＝10.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－422×10＝－210. 答案：－21011．(2020·江西六校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3.(1)求|a ＋3b |；(2)若向量a ＋2b 与t a ＋2b 垂直，求实数t 的值．解析：(1)∵向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，∴|a ＋3b |＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝9＋6×3×cos π3＋9＝3 3.(2)∵向量a ＋2b 与t a ＋2b 垂直，∴(a ＋2b )·(t a ＋2b )＝0， ∴t a 2＋(2t ＋2)a ·b ＋4b 2＝0，∴9t ＋(2t ＋2)×3×1×cos π3＋4＝0，解得t ＝－712.。