例1、判断：以下函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？假设是二次函数，指出,,a b c
〔1〕34y x = 〔2〕20.51y x =-+ 〔3〕21y x x
=
+ 〔4〕()22
3y x x =+- 〔5〕232s t =- 〔6〕232y x =-
〔7〕y = 〔8〕210s r π= 解：〔2〕，-0.5、0、1； 〔5〕，-2、0、3； 〔8〕10π、0、0.
例2、函数72
)3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值． 解：m=-3
3、〔1〕当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？
解：m ≠0且m ≠1
〔2〕当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数？
解：M=1
【二】函数解析式
例1、用20米的篱笆，一面靠墙〔墙的长足够长〕，围成一个矩形花圃，如图，在BC 边上留一个2米的门，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。
解：2
222(010)y x x x =-+<<
2、用20米的篱笆，两面靠墙〔墙的长足够长〕，围成一个直角梯形花圃，如图，AD ∥BC,AB ⊥BC,其中AD CD 、是已有的墙，0135ADC ∠=，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。
答案：23
20(010)2
y x x x =-+<<
3、二次函数y=4x2＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值．
二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k ． K=2
【三】二次函数2y ax =
的图像 ①函数2y ax =图像⎧⎪
⎨⎪⎩开口方向：
对称轴：顶点坐标：
②增减性： ③最值：
例1、先分别说出以下函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后再画出大致的图像。
〔1〕y=－3x2, 〔2〕 y=23
1x , 〔3〕y=5x2, 〔4〕 y=24
3x -.
2、函数()()2110y k x k =++≠的图像的顶点坐标是 〔0,0〕 ，对称轴是 x=0 。
当k >-1 时，图像的开口向上，这是函数有最 小 值； 当k <-1 时，图像的开口向下，这是函数有最 大 值. 例2、函数的增减性
〔1〕当0x >时，函数27y x =-的值随着自变量x 的增大而 减小 ；当x =0 时，函数值最 大 ，最 大 值是 0 。
〔2〕当0x <时，函数223
y x =的值随着自变量x 的减小而 增大 ；当x =0 时，函数值最 小 ，最 小 值是 0 。
〔3〕A 〔1，y1〕、B 〔-2，y2〕、C 〔-2，y3〕在函数y=24
1
x 的图像上，那么y1、y2、y3的大小关系是 y1 <y3 < y2 .
例3、函数2y ax =的解析式
二次函数2y ax =的图像经过点P(2，-6)，你能确定它的开口方向吗？你能确定a 的值吗？
A
B C
D
解：能；开口向下；能确定a 的值，23-
=a
〔2〕4
2
)2(-++=k k
x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的减小而减小．
〔1〕求k 的值；〔2〕求顶点坐标和对称轴．
解：〔1〕k=-3,k=2(2)当k=-3时，顶点坐标是〔0，0〕，对称轴是x=0 巩固练习
1、二次函数定义：
〔1〕43)1(12
-+-=+x x m y m 是二次函数，那么m=___-1______.
〔2〕以下是二次函数的是__③___④______________________〔填序号〕
2、将二次函数4)3(22+-=x y 化成一般式____221222y x x =-+_______.
3、抛物线()21y m x =-，且直线m x y -+=33经过【一】【二】三象限，那么m 的范围是_m<3且m ≠1 ；
4、假设函数232(1)(1)y m x m x =-++的图象是抛物线，那么__1____m =；
5、点A(2-，a )是抛物线2y x =上一点，那么a =__4__，A 点关于原点的对称点B 是_(2，-4)，
A 点关于y 轴的对称点C 是_(2， 4) _，其中点
B 、点
C 在抛物线2
y x =上的是_关于x 轴对称_；
6、以下各式中，y 是x 的二次函数的是 ( B )
A 、 21xy x +=
B 、 220x y +-=
C 、 22y ax -=-
D 、
2210x y -+=
7、在同一坐标系中，作22y x =、22y x =-、21
2
y x =的图象，它们共同特点是 ( D )
A 、都是关于x 轴对称，抛物线开口向上
B 、都是关于y 轴对称，抛物线开口向下
C 、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D 、都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点
8、假设二次函数22(1)23y m x m m =++--的图象经过原点，那么m 的值必为 ( C )
H
P
G
F E D
C
B
A A 、 -1或3
B 、 一1
C 、 3
D 、 无法确定
9、原点是抛物线2(1)y m x =+的最高点，那么m 的范围是 ( A )
A 、 1-<m
B 、 1<m
C 、 1->m
D 、 2->m 10、△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=60厘米，高AH=40厘米，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、
AC 上，设DE=x 厘米，矩形的面积为y 平方厘米，请求出y 关于x 的函数解析式及函数定义域。
答案：23
60(040)2
y x x x =-+<<
11、二次函数2y ax bx c =++中，02x y ==当时，；11x y ==当时，；24x y ==-当时，；
试求二次函数的解析式 答案：222y x x =-++
12、根据图〔1〕、〔2〕的函数图像填空： 〔1〕二次函数y=－7x2的图像可能是 (1) ，
二次函数y=2
3
2x 的图像可能是 (2) ；
〔2〕有最大值的函数图像是 (1) ，
它的最大值是 0 ；
〔3〕如果二次函数y=(m-1)x2的图像是图〔1〕， 那么m 的取值范围是 m<1 . 13、根据函数关系式y=24
3x -填空：
〔1〕图像开口向 下 ， 顶点坐标 (0,0) ，对称轴 y 轴 ； 〔2〕当x ≥0时，y 随x 的增大而 减小 ；当x= 0 时，y 的最 大 值是 0 .
14、二次函数y=ax2的图像经过点A 〔)8
1,2
1
-、B 〔3,m 〕.
o (2)
y
x
(1)求a 与m 的值；
答案：21
2y x =-. 1922
a m =-=-，
〔2〕写出该图像上点B 的对称点的坐标； 〔3〕当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？ x>0
〔4〕当x 取何值时，y 有最大值〔或最小值〕？ x=0 ,y 有最大值
16、抛物线2ax y =与直线x y -=交于〔1，m 〕，求a 的值 a=-1
17、2
2212()(3)m m y m m x m x m --=-+-+；
求：〔1〕当m 为何值时，它是二次函数？〔2〕当m 为何值时，它是一次函数？
答：(1) m=3，m=-1； (2) 1°
1m = 2°m=0，m=1.
18、点M(k ，2)在抛物线y=x2上， (1)求k 的值
(2)点N(k ，4)在抛物线y=x2上吗？不在 (3)点H(-k ，2)在抛物线y=x2上吗？不在。