知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x 换成― x，或把y 换成― y，或把x、y 同时换成― x、― y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x| ≤a，|y| ≤b。

（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a>b>0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（― a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。

②因为a>c>0，所以e的取值范围是0<e<1。

e越接近1，则c 就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。

椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3）, ，；讲练结合四．焦点三角形221．椭圆x y 1的焦点为 F1、F2，AB是椭圆过焦点 F1的弦，则 ABF2的周长是。

1 2 1 29 252．设 F1，F2为椭圆 16x2 25y2 400的焦点，P为椭圆上的任一点，则 PF1F2 的周长是多少？PF1F 2 的面积的最大值是多少？223．设点P是椭圆x y 1上的一点， F1, F2是焦点，若F1PF2 是直角，则 F1PF2 的面积1 2 1 2 为。

25 16变式：已知椭圆9x216y2144，焦点为 F1、 F2 ，P是椭圆上一点．若 F1PF2 60 ，求 PF1F2 的面积．五．离心率的有关问题1. 椭圆的离心率为，则2. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 1200，则此椭圆的离心率 e为3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△ F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5. 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．讲练结合六. 最值问题21.椭圆x y21两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为___________ ，最小值为______4222、椭圆x y 1两焦点为F1、F2，A（3，1）点P在椭圆上，则|PF1|+|PA| 的最大值为_____________ ，最25 16 小值为___23、已知椭圆x y21 ，A（1，0），P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小值。

4224. 设F是椭圆3x2＋2y4=1的右焦点,定点A（2,3）在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF| 最小,32 24求P 点坐标最小值.知识点四：椭圆与（a>b> 0）的区别和联系注意：椭圆，（a>b>0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a>b>0 和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

1．如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。

当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。

此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量a、b、c 的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a> b> 0，a>c>0，且a2=b2+c2。

可借助下图帮助记忆：a、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c 为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程Ax2+By2=C（A、B、C 均不为零）表示椭圆的条件方程Ax2+By2=C可化为，即，所以只有A、B、C同号，且A≠ B 时，方程表示椭圆。

当时，椭圆的焦点在x 轴上；当时，椭圆的焦点在y 轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。

其主要步骤是“先定型，再定量” ；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。

与椭圆（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为（k>－b2）。

此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：①若把曲线方程中的x换成― x，方程不变，则曲线关于y 轴对称；②若把曲线方程中的y换成― y，方程不变，则曲线关于x 轴对称；③若把曲线方程中的x、y 同时换成― x、― y，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何解决与焦点三角形△ PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系.9．如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。

离心率，因为c2=a2－b2，a>c>0，用a、b 表示为，当越小时，椭圆越扁，e 越大；当越大，椭圆趋近圆，e 越小，并且0< e< 1。

课后作业1 已知F1(-8 ，0)，F2（8 ，0），动点P 满足|PF 1|+|PF|=16 ，则点P 的轨迹为（）A 圆B椭圆C线段 D 直线x22 、椭圆y2 1 左右焦点为F1、F2，CD为过F1 的弦，则CDF1 的周长为_1693 已知方程 2 x2y 1 表示椭圆，则k 的取值范围是()1k1kA -1<k<1B k>0C k ≥0D k>1 或k<-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1) 长轴长为 10，短轴长为 6 (2) 长轴是短轴的 2 倍，且过点 (2 ，1) (3) 经过点 (5，1) ，(3，2)5、若⊿ ABC 顶点 B 、C 坐标分别为 (-4 ，0) ，(4 ，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为 30，则⊿ ABC 的重心 G 的轨迹方程为 _____________________22xy6.椭圆 2 2 1(a b 0) 的左右焦点分别是 F 1、F 2，过点 F 1作x 轴的垂线交椭圆于 P 点。

a2b2若∠ F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为 _________7、已知正方形 ABCD ，则以 A 、B 为焦点，且过 C 、D 两点的椭圆的的离心率为 ________ 椭圆方程为 ___________________ .x2 y 28已知椭圆的方程为1， P 点是椭圆上的点且 F 1PF 2 60 , 求 PF 1F 2的面积4 31 2 1 29. 若椭圆的短轴为 AB ，它的一个焦点为 F 1，则满足△ ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率为 2210. 椭圆x y1上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是100 362211．已知椭圆 x2 y1(a 5)的两个焦点为 F 1、F 2，且 F 1F 2 8，弦 AB 过点 F 1，则△ ABF 2的周长 a2251 22212.在椭圆 x + y=1上求一点 P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍 25 913、中心在原点、长轴是短轴的两倍 , 一条准线方程为 x 4, 那么这个椭圆的方程为 14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离 , 则椭圆的离心率 e = ___________ .15、椭圆的中心在原点 ,焦点在 x 轴上,准线方程为 y 18 ,椭圆上一点到两焦点的距离分别为 10和 14,则椭圆 方程为_________________________ .16. 已知 P 是椭圆 9x 2 25y 2 900上的点,若 P 到椭圆右准线的距离为2y1内有两点 A 2,2 ， B 3,0 ， P 为椭圆上一点，若使 16x2y 22218、 椭圆 x＋ y=1 与椭x＋ y=(0)有3223(A ) 相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线(D) 以上都不对19、 22 椭圆 x y 2 1与 x 2 y 2 1(0<k<9)的关系为25 9 9 25(A) 相等的焦距 (B) 相同的的焦点 (C) 相同的准线(D) 有相等的长轴、短轴 20、22 椭圆 x y 1上一点P 到左准线的距离为2，则点 P 到右准线的距离为622221、 点 P 为椭圆 xy1 上的动点 ,F 1, F 2为椭圆的左、右焦点 , 则 PF 1 PF 2 的最小值为 __________, 则 P 到左焦点的距离为PA 5PB 最小，则最小值为217．椭圆 x25。