i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
由辅助方程导数系数构成
解辅助方程： s4 3 s2 2 (s2 1 )(s2 2 ) 0
j, j 2,1
[例] 开环传递函数 Gk(s)s(0.1s1)K0 (.2s51)单位负反馈.
求实系统稳定 K的的取值范围
a n4
a n5 b3
an an2
b1
an1 an3 an1
s c c c n 3 |
1
2
3
an1 an3
|
s1 |
c1
b1 b2 b1
s0 |
a i是实
an an4
b2
an1 an5 an1
an1 an5
c2
b1 b3 b1
劳斯判据:
系统稳定的充分必要条件: 特征方程的全部系数都是正数, 且劳斯表第一列元素都是正数
自动控制系统的时 域分析和性能指标
24.04.2《02自1 动控制原理》第三章
1
本章主要内容
稳定性、劳斯（Routh）稳定判据； 典型输入信号、阶跃响应性能指标； 一、二阶系统动态性能指标； 闭环主导极点； 稳态误差分析； 基本控制规律（P、PI、PD、PID）。
第一节 稳定性和代数稳定判据
一、稳定的概念 一个自动控制系统必须是稳定的
在劳斯表中,同一个正整数去除或乘某一行,不会改变劳 斯判据的结论
位于右半S平面根的个数=劳斯表第一列元素符号改变的 次数
三.劳斯稳定判据的应用
例: a3s3a2s2a 1sa00 判稳s3a3Fra biblioteka10
s2
a2
a0
0
s1 a1a2 a3 a0 0 a2
s0
a0
三阶系统稳定的充要条件是: a i0 且 a 1a 2a 3a 00
[例] s42s33s24 s50判稳
解: s 4 |
1
3
5
s3 |
2
4
0
13
15
s2 |
24 1
2
20 5
2
24
s1 |
15 6
1
0
15
s0 |
6 0 5
6
Routh表第一列元素符号改变2次, 有2个正实部的根, 系统不稳定
[例] s4 3 s3 3 s2 3 s 2 0判稳
解: s 4 | 1 3 2 s3 | 3 3 s2 | 2 2 s1 | s0 | 2
用ε代表0, 此时有一虚根存在,系统是不稳定的. 根为: +j, -j, -1, -2
[例] S5+ S4+3S3+3S2+2S +2 =0 判稳
解: S 5 | 1 3 2 S4 | 1 3 2 S 3 | 0 0 0 系统不稳定，若要了解根的分布
则作辅助方程 Q (s)s43s220
求导 4s36s0
K
C(s)
-
s(0.1s1)(0.25s1)
解：
系统方程
列劳斯表
根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于0，解出K 的取值范围
0<K<14
例 （华东理工大学2000年）某控制系统如下图 所示，试确定K1，K2使系统闭环稳定。
R(s) + +
-
-
100 s2 4
K2s
C(s)
解：
K1s
系统方程
解:
GB
(s)
GK (s) 1GK (s)
,
1GK (s)闭环特征方程
s(0.1s 1)(0.25s 1) K 0
s3 14s2 40s 40K 0
K 0 1440140K 0
0 K 14
例 （哈尔滨工业大学2000年）系统结构图如下。 求：为使系统闭环稳定，确定K的取值范围。
R(s) +
1
0
t
r(t)
s t
r(t) 0
tt 0 0L[r(t)]12
1
0
1
t
3.单位抛物线函数(加速度阶跃函数)
r(t)
(t) 1 2t2 t0
0 t0
L[1 2t2]s13 0
t
二. 阶跃响应的性能指标
C (t) C max C() 1 C () 2
td tr t p
1、延迟时间 t d
2 、上升时间 t r
C (s)
C(s) 1 1 Ts1 s
C(t)1etT Ct(t)Css(t)
R(s) 1 s
K K0 , 1 K0
T T0 1 K0
e C 瞬 C 态 t tT , 稳( 态 t) 1 ( t) ss
C t (t)
C ss (t)
C (t)
+
=
二.一阶系统的动态性能指标
e e C(t)t3T(1
自动控制系统稳定的定义：
设系统处于某一起始的平衡状态，在外作用影响下它离 开平衡状态，当外作用消失后，若经过足够长的时间它能回 复到原来的平衡状态，则称这样的系统是稳定的，或称系统 具有稳定性，否则是不稳定的或不具有稳定性。
线性系统的稳定的充要条件是：
系统特性方程的根（即闭环极点）均为负实数（实部）。
列劳斯表
根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于0，解出 K1，K2的取值范围
第四次作业
P133
3-1(1) 3-2(5) 3-3(1)
第二节 典型输入信号和阶跃响应性能指标
一. 典型输入信号
1(t)
1.单位阶跃函数
1 t0 1(t) 0 t0
L[1(t)]1 s
2.单位斜坡函数(速度阶跃函数)
t
T)t3T1
3T
T0.95
ts3T
ts 是一阶系统的动态性能指标。
T T0 1 K0
增大系统的开环放大系数K0 都会使T 减小，使ts 减小。
第四节 二阶系统的动态性指标
一、二阶系统的动态响应
2
(s) 2 2