1．3.2含有一个量词的命题的否定[学习目标] 1.通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．[知识链接]你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.答：(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x0∈R，x20－2x0＋1<0.[预习导引]1．全称命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃∈M，綈p(x)．2．存在性命题的否定存在性命题p：∃∈M，p(x)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．3．全称命题的否定是存在性命题．存在性命题的否定是全称命题．要点一全称命题的否定例1写出下列命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)是全称命题，其否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(2)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．(3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在．(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.规律方法全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．跟踪演练1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.解(1) 綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2) 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3) 綈p：∃x∈Z，x2的个位数字等于3.要点二存在性命题的否定例2写出下列存在性命题的否定．(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有的实数没有平方根；(3)p：我们班上有的学生不会用电脑．解(1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(2) 綈p：所有的实数都有平方根．(3) 綈p：我们班上所有的学生都会用电脑．规律方法存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立．跟踪演练2写出下列存在性命题的否定：(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数．解(1) 綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(2) 綈p：所有的三角形都不是等边三角形．(3) 綈p：每一个素数都不含三个正因数．要点三 存在性命题、全称命题的综合应用例3 已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．解 如图，在区间[－1,1]中至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0， 即⎩⎨⎧ p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3.∴p ≥32或p ≤－3. 故p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32. 规律方法 通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免烦杂的运算．跟踪演练3 若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是__________________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔ ⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2.1．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“綈p ”形式的命题是________________________．答案 对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根解析 命题p 是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p ：对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根．2．对下列命题的否定说法错误的是________．①p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形；④p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p：∀x∈R，x2＋x＋2＞0.答案③解析“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故③错误．3．下列命题中的假命题是________．①∀x∈R,2x－1>0②∀x∈N*，(x－1)2>0③∃x∈R，lg x<1④∃x∈R，tan x＝2答案②解析①中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；②中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；③中命题是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；④中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题．4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________________．答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题：“有的向量与零向量不共线”．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．一、基础达标1．下列命题中，不是全称命题的是________．①a＋b＝b＋a；②∀x∈R,2x＋1是奇数；③若sin x ＝12，则x ＝30°； ④平行四边形的对角线互相平分．答案 ③解析 ③是存在性命题．2．下列全称命题中真命题的个数为________．①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．答案 3解析 ①为真命题；②由角平分线的性质知是真命题；③是真命题．3．下列存在性命题是假命题的是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在一个实数x ，使x 2＋x ＋1≤0；③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．答案 ②解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0恒成立． 4．命题“一次函数都是单调函数”的否定是________________．答案 有些一次函数不是单调函数解析 命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．5．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为________．答案 存在x ∈R ，使得x 2＜0解析 全称命题的否定是存在性命题．6．已知命题p ：“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x≥2”的充要条件，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x －1>0.则下列结论中正确的是________．①命题“p ∧q ”是真命题 ②命题“p ∧綈q ”是真命题 ③命题“綈p ∧q ”是真命题 ④命题“綈p ∨綈q ”是假命题答案 ③解析 a ＝1⇒x ＋a x ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2， 显然a ＝2时也能推出“∀x >0，x ＋a x≥2”成立， 所以“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x≥2”的充分不必要条件， 故p 是假命题，而q 是真命题，故③正确．7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解 (1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在性命题且为真命题．命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．二、能力提升8．命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________________________． 答案 存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 由定义知命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3”．9．已知命题q ：“三角形有且仅有一个外接圆”则綈q 为“________________________”． 答案 存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆解析 全称命题的否定是存在性命题．10．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，故实数m 的取值范围是[3,8)．11．命题p 是“对某些实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b >0.(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x －b >0的解集不为空集， 通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b <a .12．已知命题p ：“至少存在一个实数x ∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解 由已知得綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立．∴设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3， ∵綈p 为假，∴a >－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．三、探究与创新13．已知命题p ：∀x ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0，若綈p 是假命题，求实数m 的取值范围． 解 ∵綈p 是假命题，∴p 是真命题．也就是∀x ∈R ，有m ＝－(4x －2x ＋1)，令f (x )＝－(4x －2x ＋1)＝－(2x －1)2＋1，∴对任意x ∈R ，f (x )≤1.∴m 的取值范围是m ≤1.。