乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列． （2） 等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1 an1 (n 2) 2an1 an an2 ． （3） 数列 an 是等差数列 an kn b （其中 k, b 是常数）。 （4） 数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn ,（其中A、B是常数）。
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n 2
是关于 n
的二次函数且常数项为
0.
（2）若公差 d 0 ，则为递增等差数列，若公差 d p q 时,则有 am an a p aq ，特别地，当 m n 2 p 时，则有 am an 2ap .
6．等差数列的证明方法
定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列．
7.等差数列的性质：
（1）当公差 d 0 时，等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1 d 是关于 n 的一次函 数，且斜率为公
差d
；前 n
和
(9)求 Sn 的最值
法一：因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性
n N* 。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前 n 项和的最大值是所有非负项之和
即当 a1
0，d
0，由
a a
n 0 n1
0
可得
Sn
达到最大值时的 n
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点
看，数列实质上是定义域为正整数集 N （或它的有限子集）的函数 f (n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值
时对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ……， f (n) ，……．通常用 an 来代替 f n，其图象是一群孤
（7）设数列 an 是等差数列，d 为公差， S奇 是奇数项的和， S偶 是偶数项项的和， Sn 是前 n 项的和
1.当项数为偶数 2n 时，
S奇 a1 a3 a5 a2n1 n
a1 a2n1 2
nan
S偶
a2
a4
a6
a2n
n a2
2
a2n
nan1
S偶奇 S nan1 nan n an1 an =nd
（4）若an、bn为等差数列，则an b，1an 2bn都为等差数列
(5) 若{ an }是等差数列，则 Sn , S2n Sn , S3n S2n ，…也成等差数列
（6）数列{an}为等差数列,每隔 k(k N * )项取出一项( am , amk , am2k , am3k , )仍为等差数 列
na1
n(n 1) d 2
d 2
n2
(a1
1 d)n 2
An2
Bn
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数 2n 1 时， an1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项
S2n1
2n
1a1
2
a2
n1
2n
1an
1
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数
（2）等差数列 1.等差数列的定义： an an1 d （d为常数）（ n 2 ）；
2．等差数列通项公式：
an a1 (n 1)d dn a1 d (n N *) ， 首项: a1 ，公差:d，末项: an
推广： an am (n m)d ．
从而 d an am ； nm
立的点 （4）数列分类：
①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列； ②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列
（5）递推公式定义：如果已知数列 an 的第 1 项（或前几项），且任一项 an 与它的前一项 an1 （或前几项）间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
3．等差中项
（1）如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．即： A a b 或 2 A a b
2
（2）等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1 an1 (n 2) 2an1 an an2
4．等差数列的前 n 项和公式：
Sn
n(a1 an ) 2
1．考纲要求
数列知识点
内容 4
数列
数列的概念 数列的概念和表示法 等差数列的概念
等差数列、 等比数列的概念 等比数列 等差数列的通项公式与前 n 项和公式
等比数列的通项公式与前 n 项和公式
要求层次 ABC
√ √ √
√ √
2．知识点 (一)数列的该概念和表示法、 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作 an ，在数列第 一个位置的项叫第 1 项（或首项），在第二个位置的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通 项）记作 an ；
数列的一般形式： a1 ， a2 ， a3 ，……， an ，……，简记作 an。
（2）通项公式的定义：如果数列{an }的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个
数列的通项公式
说明：①an表示数列， an 表示数列中的第 n 项， an = f n表示数列的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9
S奇 nan an S偶 nan1 an1
2、当项数为奇数 2n 1时，则
S2n
1
S奇偶奇S S奇偶偶S
(2n 1) an+1
an+1
S
(n 1)an+1 S nan+1
S奇 S偶
n 1 n
（其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项）．
（8）等差数列{an}的前 n 项和 Sm n ，前 m 项和 Sn m ，则前 m+n 项和 Smn m n