函数，而且与其成非线性的关系。电磁铁通电后所产生的瞬时电感与气隙 x 的关
系下面式子所示。
L(x)

L1

1
L0 x
（9.4）
式中L1 是小球没处于电磁场中时的静态电感；aL0是小球处于电磁场中时线圈
中增加的电感（即气隙为零时所增加的电感）；a 是磁极附近一点到磁极表面的
气隙。
当平衡点距离电磁铁磁极面比较近时，即 x0 0 时有：L < L1 + L0 。当平
图9.3 磁悬浮控制系统框图
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自动控制原理
9.1.3 磁悬浮系统的数学建模
为了分析或设计一个自动控制系统，首先需要建立其数学模型，即描述系 统运动规律的数学方程。在建模时，要确定出哪些物理变量和相互关系是可以忽 略的，哪些对模型的准确度有决定性的影响，才能建立起既比较简单，又能基本 反映实际系统的模型。磁悬浮系统在建模前可进行如下假设。
图9.2中传感器装置必须采用后处理电路。当浮体（钢球）的位置在垂直方 向发生改变时，狭缝的透光面积也就随之改变，从而硅光电池的曝光度（照度） 发生变化，最后将位移信号转化为一个按一定规律（与照度成比例）变化的电压 信号输出。
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自动控制原理
磁悬浮系统基本组成与工作原理
自动控制原理
第九章 自动控制理论的应用实 例
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自动控制原理
9.1 磁悬浮控制系统设计
9.1.1 磁悬浮系统应用背景
国内外在磁悬浮方面的研究工作主要集中在磁悬浮列车方面，进展很快，以 从实验研究阶段转向试验运行阶段。在日本，已建成多条常导和超导型试验线路。 德国的埃姆斯兰特试验线长31.5km，研制成功TR07型时速450km的磁悬浮列车。 在取得一系列研究和试验结果后，1990年日本开始建造速度为500km/h、长 48.2km的超导磁悬浮列车路线。德国则在2005年建成柏林到汉堡之间284km的 常导型磁悬浮列车正式运营路线，其速度为420km/h。此外，法国、美国、加拿 大等国也在这方面进有很多应用。如风洞磁悬浮系统、磁悬浮隔振系统、 磁悬浮熔炼等。
虽然磁悬浮的应用领域繁多，系统形式和结构各不相同，但究其本质都共同 具有非线性和开环不稳定的特性。
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自动控制原理
9.1.2 磁悬浮系统基本组成与工作原理
磁悬浮球控制系统是研究磁悬浮技术的平台，它是一个典型的吸浮式悬浮系 统。磁悬浮球实验装置主要由 LED 光源、电磁铁、光电位置传感器、电源、放 大电路及A/D、D/A数据采集卡和控制对象(钢球)等元件组成。它是一个典型的 吸浮式悬浮系统。其系统工作原理组成框图如下图 9.2所示。
4)功率放大器模型
U
(t)

Ri(t)

L1
di dt
（9.6）
功率放大器主要是解决感性负载的驱动问题，将控制信号转变为控制电流。 因系统功率低，故采用模拟放大器。
本系统设计采用电压-电流型功率放大器。在功率放大器的线性范围以内，其 主要表现为一阶惯性环节，其传递函数可以表示为：
G0

U (s) I (s)
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磁悬浮系统的控制器设计
下面用第六章的频域校正法设计磁悬浮控制系统。要求设计一控制器，使得 磁悬浮系统的静态位置误差常数为5(注意传感器的输出电压与磁悬浮间隙极性相 反，实际取-5)，相位裕量为500，增益裕量等于或大于10分贝。
1） 忽略漏磁通，磁通全部通过电磁铁的外部磁极气隙。
2） 磁通在气隙处均匀分布，忽略边缘效应。
3） 忽略小球和电磁铁铁芯的磁阻，即认为铁芯和小球的磁阻为零。则电磁 铁与小球所组成的磁路的磁阻主要集中在两者之间的气隙上。
4） 假设球所受的电磁力集中在中心点，且其中心点与质心重合。
本系统的数学模型是以小球的动力学方程和电学、力学关联方程为基础建 立起来的。
mg
（9.1）
式中x为小球质心与电磁铁磁极之间的气隙（以磁极面为零点），单位为米 （m）。m为小球的质量，单位为千克（Kg）。F ( i, x)为电磁吸力，单位为牛顿 （N）。g 为重力加速度，单位是米/秒2 （m / s2）。
2）系统的电磁力模型
电磁吸力 F (i, x) 与气隙 x 是非线性的反比关系，即电磁力可写为
此磁悬浮系统是一典型的非线性系统，必需首先对其非线性部分进行线性化 处理。由于电磁系统中的电磁力F和电磁铁中绕组中的瞬时电流i、气隙x间存在着 较复杂的非线性关系，若要用线性系统理论进行控制器的设计必须对系统中各个 非线性部分进行线性化。此系统有一定的控制范围，所以对系统进行线性化的可 能性是存在的，同时实验也证明，在平衡点 (i0 , x0 ) 对系统进行线性化处理是可 行的。利用第二章的非线性系统线性化方法，可以对此系统进行线性化处理。
（9.8）
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自动控制原理
磁悬浮系统的数学建模
5)系统平衡的边界条件
钢球处于平衡状态时，此时加速度等于零，得钢球此时所受的合力为零。同 时钢球受到向上的电磁力=小球自身的重力，即
mg F(i0,x0 ) 0 6) 系统模型线性化处理
（9.9）
图9.1 上海磁悬浮列车
磁悬浮轴承的研究也是国外另一个非常活跃的研究方向，磁悬浮轴承广泛应 用于航天、核反应堆、真空泵、超洁净环境、飞轮储能等场合。目前磁力轴承的 转速已达到80000转/分，转子直径可达12米，最大承载力为10吨。
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自动控制原理
磁悬浮系统应用背景
X(s)
代入得系统的开环传递函数
X(s) 1 I(s) As2 B
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（9.11） （9.12）
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自动控制原理
磁悬浮系统的数学建模
如果选择控制系统的输入量是控制电压 uin ，控制系统输出量为间隙 x(t)，
其对应的输出电压为 uout ，则该系统控制对象的模型可写为：

Ka 1 Tas
（9.7）
其中K a 为功率放大器的增益， Ta 为功率放大器的滞后时间常数。在系统 实际过程当中，功率放大器的滞后时间常数非常小，对系统影响可以忽略不计。 因此可以近似认为功率放大环节仅由一个比例环节构成，其比例系数为 K a 。由 硬件电路计算得
G0 (s) Ka 5.8929
num=[77.8421]; den=[0.0311 0 -30.5250]; step(num,den)
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自动控制原理
磁悬浮系统的控制器设计
由上图可以看出，小球的位置很快发散。开环系统是一个二阶不稳定系统。 要实现悬浮体的稳定悬浮，就必须控制电磁铁中的电流，使其变化阻止悬浮体气 隙的变化，所以此系统需要设计一个控制器，使得磁悬浮系统稳定且具有良好的 控制性能。
其中 A

i0 ,B 2g

i0 x0
G(s)
U out(s) Uin(s)

Ks x(s) Kai(s)

(Ks / Ka ) As2 B
（9.13）
则可以看出系统有一个开环极点位于复平面的右半平面，根据系统稳定性 判据，即系统所有的开环极点必须位于复平面的左半平面时系统才稳定，所以磁 悬浮系统是不稳定的系统。
自动控制原理
磁悬浮系统的数学建模
3) 电磁铁中控制电压与和电流的模型
由电磁感应定律及电路的基尔霍夫定律可知有如下关系
U (t) Ri(t) d (x,t) Ri(t) d[L(x)i(t)]
dt
dt
（9.3）
电磁铁绕组中的瞬时电感 L( x) 是关于小球到电磁铁磁极表面的气隙 x(t) 的
高速磁悬浮电机(Beatingless Motors)是近些年提出的一个新的研究方向， 它集磁悬浮轴承和电动机于一体，具有自动悬浮和驱动的能力，且具有体积小、 临界转速高等特点。国外自 90 年代中期开始对其进行了研究，相继出现了永磁 同步型磁悬浮电机、开关磁阻型磁悬浮电机、感应型磁悬浮电机等各种结构。磁 悬浮电机的研究越来越受到重视，并有一些成功的报道，如磁悬浮电机应用的生 命科学领域，现在国外已研制成功的离心式和振动时磁悬浮人工心脏血泵，采用 无机械接触式磁悬浮结构不仅效率高，而且可以防止血细胞破损，引起溶血、凝 血和血栓等问题。
磁悬浮系统的数学建模
式中
K1

F i
| i i0 ,x x0
2Ki0 x02
K2

F x
| i i0 ,x x0

2Ki02 x03
将式（9.10）经拉普拉斯变换后得
将
mg

K

i20 x20

X(s)s2

2Ki0
mx
2 0
i(s)

2Ki20
mx
3 0
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自动控制原理
9.1.4 磁悬浮系统的控制器设计
为了完成一个控制系统的设计最重要的一步便是对系统进行分析。在系统 物理建模这一节已经得到了磁悬浮系统的模型，下面利用 MATLAB 工具对已经 得到的系统模型进行一些特性分析，为设计控制器提供理论指导。
首先对系统进行阶跃响应分析，在 MATLAB 中键入以下命令，运行得到阶 跃曲线如图9.4所示。