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高级宏观经济学 第四版 中文 罗默课后题答案

第二章无限期模型与世代交叠模型高级宏观经济学_第四版—中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1考虑N个厂商,每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,Y = F K, AL,或者采用紧凑形式。

假设。

假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动,以成本r租赁资本,并且所有厂商的A值都相同。

(a)考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。

证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y,并由此证明所有厂商都选择相同的k值。

(b)考虑某单个厂商,若其具有相同生产函数,并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和,证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。

证明:(a题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本,同时厂商受到生产函数的约束。

这是一个典型的最优化问题。

构造拉格朗日函数:求一阶导数:得到:上式潜在地决定了最佳资本k的选择。

很明显,k的选择独立于丫第二章无限期模型与世代交叠模型上式表明,资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比,这便是成本最小化条件。

(b)因为每个厂商拥有同样的k和A,贝U N个成本最小化厂商的总产量为:为N个厂商总的雇佣人数,单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k, k的决定独立于丫的选择。

因此,如果单一厂商拥有的劳动人数,则它也会生产的产量。

这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。

2.2相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。

设想某个人只活两期,其效用函数由方程(2.43)给定。

令和分别表示消费品在这两期中的价格,W表示此人终生收入的价值,因此其预算约束是:(a)已知和和W,则此人效用最大化的和是多少?(b)两期消费之间的替代弹性为,或。

证明,若效用函数为(2.43)式,是则与之间的替代弹性为。

答:(a)这是一个效用最大化的优化问题。

---- ------------ (1)(2)求解约束条件:(3)将方程(3)代入(1)中,可得:---- ---------------------------- (4) 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。

在方程( 4)两边对求一阶条件可得:(5)解得:将方程(5)代入(3),则有:解得:------------------- (6)将方程(6)代入(5)中,则有:------------------- (7)(b)由方程(5)可知第一时期和第二时期的消费之比为:(8)对方程(8)两边取对数可得:(9)则消费的跨期替代弹性为:因此,越大,表明消费者越愿意进行跨期替代。

2.3 (a)假设事先知道在某一时刻,政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。

那么,消费是否会在时刻发生突然变化?为什么?(如果会的话,请说明时刻前后消费之间的关系。

)(b)假设事先知道,在某一时刻,政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富,其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。

那么,消费是否会在时刻发生突然变化?为什么?(如果会,请说明时刻前后消费之间的关系。

)答:(a)考虑两个时期的消费,比如在一个极短的时期内,从到。

考虑家庭在时期减少每单位有效劳动的消费为。

然后他在投资并消费这一部分财富。

如果家庭在最优化他一生的财富,则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。

这一变化有一效用成本前,在会有一收益,财富的回报率为,不过,此刻有一半的财富会被没收。

此时的效用收益为后。

总之,对于效用最大化的消费路径来说,必须满足下列条件:前后在时,有下式:前后因此,当政府对财富没收一半后,消费会不连续的变化,消费会下降。

征收前,消费者会减少储蓄以避免被没收,之后会降低消费。

(b)从家庭的角度讲,他的消费行为将不会发生不连续的变化。

家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收,为了最优化他一生的效用,家庭不会使自己的消费发生不连续的变化,他还是希望平滑自己的消费的。

2.4设方程(2.1)中的瞬时效用函数为。

考虑家庭在(2.6)的约束下最大化方程(2.1)的问题。

请把每一时刻的C表示为初始财富加上劳动收入现值、以及效用函数各参数的函数。

答:OO X—————— 2.6 本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用OOOO令一建立拉格朗日方程:求一阶条件:抵消—项得: OO(1)—(2)第二章无限期模型与世代交叠模型(1)(3)可以推出:(4)将其代入预算约束方程,得:—(5)将代入上式,得:OO— (6)只要 ,则积分项收敛,为,贝——(7)将方程(7)代入(4):——(8)因此,初始消费为:——(9)个人的初始财富为 ------ ,方程(9)说明消费是初始财富的一个不变的比例。

为个人的财富边际消费倾向。

可以看出,这个财富边际消费倾向在平衡 增长路径上是独立于利率的。

对于折现率 而言,越大,家庭越厌恶风险,越会选择多消费。

2.5设想某家庭的效用函数由(2.1) ~ (2.2)式给定。

假设实际利率不变, 令W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值 [(2.6)的右端]。

已知r 、W 和 效用函数中的各参数,求 C 的效用最大化路径。

OO—— 2.1 ----- 2.2答:本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用,即:OOW 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值,利率 r 是常数建立拉格朗日方程如下:求一阶条件,可得:抵消 ,得:(3)两边对时间t 求导,可得:得到下面的方程:—(4)将方程(3)代入(4),可得:抵消 然后求消费的增长率 ——,可得:————(5)由于利率r 是常数,所以消费的增长率为常数。

如果 ,则市场利率超过贴现率,则消费会增加;反之,如果 ,则市场利率小于贴现率,则消费会减少。

如果 ,则 决定了消费增长的幅度。

值越低,也就是替代弹性越高, 越高,即消费增长的越快。

重写方程(5),得:———— (6)对方程(6)积分,积分区间是从时间T =0到时间T =t ,可得:OO(2)上式可以简化为:对方程(7)两边取指数,可得:下面求解初始消费,将方程(8)代入(2),可得:代入上式,可得:------(9),从而保证积分收敛,则求解方程(9)可得:OO--------- (10)将方程(10)代入(9)中,求解--------- (11)将方程(11)代入(8),求解 :--------- (12)上式便是C 的效用最大化路径。

2.6生产力增长减速与储蓄。

设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞一 卡斯一库普曼期模型,假设g 永久性下降。

(a ) 曲线会如何变化(如果有影响)? (b )曲线会如何变化(如果有影响)?(c ) 当g 下降时,c 如何变化?(d ) 用一个式子表示g 的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。

能否 判断此表达式的正负?(e ) 设生产函数是柯布一道格拉斯函数 ,请用、n 、g 、B 和a重新表示(d )中的结果。

(提示:利用等式o )答:(a )关于资本的欧拉方程为:(7),整理得:将只要(1)该方程描述了资本的动态方程,在拉姆塞模型中,该方程描述了技术特征, 是该模型的核心,它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组, 从而决定了该模型的最终解。

在平衡增长路径上, ,由此可以推出: 。

在该方程中,当g 永久性地下降时,会导致消费C 上升以保持方程的均衡。

因而在图形 上 曲线向上移动。

同时,保持 k 不变,g 永久性地下降会导致持平投资下 降,这样就会有更多的资源用于消费。

由于持平投资 下降的幅度更大,因而在更高的k 水平上,向上移动得更大。

图2-1是该模型的图示。

(b )每单位有效劳动消费的欧拉方程为:(2)该方程描述了消费的动态方程,在拉姆塞模型中,该方程描述了偏好特征, 是该模型的核心,它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组, 从而决定了该模型的最终解。

在平衡增长路径上,要求,即为保持 , 必须下降。

由于 因此, 必须上升,在图形上表现为(c) 在g 永久性地下降时,由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资 决定的,因而不会发生不连续的变化。

它仍然保持在平衡增长路径处。

与此相反,每单位有效劳动的消费则会随着 g 永久性地下降而迅速变化。

为,在g 永久性地下降时, ,因而 下降必然导致k 上升。

向右移动,如图2-1所示。

图2-1拉姆塞模型使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径,每单位有效劳动的消费c必将发生变化。

不过,此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边,因而无法确定每单位有效劳动的消费c是上升还是下降。

存在一种特殊情况,即如果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方,则每单位有效劳动的消费c 甚至可能保持不变。

因此,c和k逐步移动到新的平衡增长路径,此时的值高于原先的平衡增长路径值。

(d)在平衡增长路径上,产出中被储蓄的部分为:因为k保持不变,即,位于一条均衡的增长路径上,则由方程(1)可知:由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上,产出中被储蓄的份额为:(3)对方程(3)两边关于g求导数,可得:可以再简化为:- --------------------------------- (4)由于由决定,对该式两边关于g求导数,可得:,从而求出为:(5)将方程(5)代入(4)中,可得:- --------------------------------- (6)在方程(6)中,分母为负,分子中第一项为正,而第二项为负,因而无法确定正与负。

因此,无法判断在平衡增长路径上g永久性地下降会使s上升还是下降。

(e)将柯布一道格拉斯生产函数代入方程(6)中,可得:简化为:从上式可以推出:最终有下面的结果:2.7说明下列变化如何影响图2.5中的线和线,并在此基础上说明其如何影响平衡增长路径上的c值和k值。

(a)上升(b)生产函数向下移动。

(c)折旧率由本章中假设的零变为某一正值。

图2-2 鞍点路径答:(a)关于c与k的欧拉方程为:- -------------- (1)(2)的上升即消费的跨期替代弹性下降,表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代,同时表明随着消费的上升,消费的边际产品下降得很快。

这种情况使家庭更偏好于即期消费。

由于没有出现在资本积累方程(2)中,因而资本积累方程不受的上升的影响。

在消费的动态方程中,在平衡增长路径上,从而,由于的上升,因而必须上升,又因为,所以为使,k必须下降。

此时向左移动,消费移动到新的鞍点路径A点上,此刻家庭消费得更多了,经济最终移动到新的稳定点,此时和低于原先的值。

如图2-3所示。

图2-3 上升的影响(b)由于生产函数的向下移动,因而和都变小了,如图2-4所示图2-4生产函数向下移动根据资本的欧拉方程:,在平衡增长路径上,因而有。

由于变小,因此这条曲线会向下移动,如图2-5所示。

根据消费的欧拉方程:一----------------- ,在平衡增长路径上,从而,由于变小,为保持,必须使k下降,从而使保持不变。

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